Majoráns kritérium

A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sorok konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is. Ilyen a

Majoráns kritérium: Tegyük fel, hogy a $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ és $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ végtelen sorok tagjaira minden elég nagy n esetén fenáll $|a_n|\le b_n$. Ha a $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ sor konvergens, akkor $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ abszolút konvergens.

Bizonyítás: Véges sok tag megváltoztatása nem befolyásolja a sorok konvergenciáját, ezért feltehetjük, hogy $|a_n|\le b_n$ minden n-re teljesül. Ebből következik, hogy a $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ sor részletösszegei nem nagyobbak $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ megfelelő részletösszegeinél. Az utóbbiak sorozata felülről korlátos, hiszen $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ konvergens. Így a $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ sor részletösszegeinek sorozata is felülről korlátos, tehát a monoton konvergencia tétel szerint a sor részösszegeinek sorozata konvergens, vagyis a sor definíció szerint konvergens.

Lásd még

• Hányadoskritérium
• Gyökkritérium

Irodalom

• Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007) ISBN 978-963-19-6084-6
• Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) ISBN 963-190-114-9