Majoráns kritérium

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Cauchy-kritérium megadja a numerikus sorok konvergenciájának pontos feltételét, azonban a gyakorlatban ritkán használható, mert nehéz ellenőrizni. Ezért szükség van egyszerűbben ellenőrizhető kritériumokra is. Ilyen a

Majoráns kritérium: Tegyük fel, hogy a \sum_{n=1}^{\infty} a_n és \sum_{n=1}^{\infty} b_n végtelen sorok tagjaira minden elég nagy n esetén fenáll |a_n|\le b_n. Ha a \sum_{n=1}^{\infty} b_n sor konvergens, akkor \sum_{n=1}^{\infty} a_n abszolút konvergens.

Bizonyítás: Véges sok tag megváltoztatása nem befolyásolja a sorok konvergenciáját, ezért feltehetjük, hogy |a_n|\le b_n minden n-re teljesül. Ebből következik, hogy a \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| sor részletösszegei nem nagyobbak \sum_{n=1}^{\infty} b_n megfelelő részletösszegeinél. Az utóbbiak sorozata felülről korlátos, hiszen \sum_{n=1}^{\infty} b_n konvergens. Így a \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| sor részletösszegeinek sorozata is felülről korlátos, tehát a monoton konvergencia tétel szerint a sor részösszegeinek sorozata konvergens, vagyis a sor definíció szerint konvergens.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]