Derivált

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált.

A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény

  • menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e),
  • szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma),
  • grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe)
  • a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan)
  • a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére.

A derivált fogalma a 16. és a 17. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre,[1] alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes tartalma enélkül is megérthető.

Pontos definíció és jelölések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f egyváltozós valós függvény, x0 az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x0-beli deriváltján vagy differenciálhányadosán [2] a

\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).[3]

Mivel a határérték egyértelmű, ha egyáltalán létezik, ugyanígy a derivált is egyértelmű. A fenti határérték, azaz a derivált jele:

f'(x_0)\,, vagy \frac{df(x_0)}{dx}, vagy \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x_0}

Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte: \scriptstyle{\dot{v}} és fluxiónak nevezte.[4]

Rögzített x esetén az

\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak szokás nevezni. Ezután a derivált definiálható úgy is, mint a különbségi hányados x \to x_0 melletti határértéke.

A jobb oldali derivált akkor létezik, ha a \lim\limits_{x\to x_0+0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0+0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} határérték létezik és véges.

A bal oldali derivált akkor létezik, ha a \lim\limits_{x\to x_0-0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0-0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} határérték létezik és véges.

Magyarázat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az x pontbeli differenciálhányados a fenti definícióval ekvivalens módon felírható a következőképpen is:

\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} illetve \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

h-t, illetve Δx-et a független változó növekményének, míg f(x+h) – f(x)-et, illetve f(xx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes értelmezésekkel kapcsolatos.

Mechanikai értelmezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A vizsgált függvényt egy mozgó test s(t) út-idő összefüggésének tekintve, t időpontra és Δt időtartamra a következőképp írható fel a különbségi hányados:

\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\,

A számlálóban a megtett út, a nevezőben az út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintervallumban számított átlagsebességét adja. Ha „egyre kisebb” Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, … másodpercre (a lényeg, hogy 0-hoz tartunk), akkor a hányados értéke egyre kevésbé változik, és egyre inkább csak a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet adja:

v(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\,=\dot{s}(t)

Az \scriptstyle{\dot{s}(t)} pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.

Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmazta, így ebben a tudományban nagyon sok fogalom feltételezi a deriválás eszközét.

Geometriai értelmezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f egyváltozós valós differenciálható függvény, x és x_0 egy-egy szám az értelmezési tartományból. A képüket jelölje f(x)=y és f(x_0)=y_0. Ekkor a koordinátasíkon az (x;y) és (x_0;y_0) pontokat összekötő egyenes a függvénygrafikon egy szelője. A szelő meredeksége éppen az \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} differenciahányados. Ha x tart x_0-hoz, a szelők az érintőhöz, a differenciahányados pedig az x_0 -beli differenciálhányadoshoz tart. Tehát a függvény x_0-beli differenciálhányadosa a függvénygrafikon x_0-beli érintőjének meredekségét adja meg.

Kiszámítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában „egyszerre” (azaz függvényként), nehézség nélkül megadhatjuk. Például legyen a deriválandó függvény:

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}; x\mapsto x^3

A különbségi hányados tetszőleges x pontban és tetszőleges Δx-re:

 \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x} =
= \frac{(x^3 + 3 x ^2 \Delta x + 3 x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - x^3}{\Delta x} =
= \frac{3 x ^2 \Delta x + 3 x (\Delta x) ^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}

Vagyis a derivált:

 f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{3 x ^2 \Delta x + 3 x (\Delta x) ^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}

A határérték-számítás miatt Δx ≠ 0, ezért lehet vele egyszerűsíteni:

 f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{3 x ^2 \Delta x + 3 x (\Delta x) ^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} =
\lim_{\Delta x \to 0}(3 x^2 + 3 x \cdot \Delta x + (\Delta x)^2)

A kifejezés Δx-re másodfokú. A polinomfüggvények folytonosságát felhasználva a határérték egyszerűen a Δx=0 behelyettesítéssel számolható.

Fontos, hogy magát a különbségi hányadost nem kell kiértékelnünk Δx=0 esetben, hiszen határérték-számítást végzünk, viszont a folytonosság miatt a már egyszerűsített kifejezésbe beírhatjuk Δx helyére a 0-t:

 f'(x)= 3 x^2 + 3 x \cdot 0 + 0^2\,
 f'(x)= 3 x^2\,

Elemi függvények deriváltjai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Függvény neve jele deriváltja
konstans c\, 0\,
konstans szorzó c \cdot x\, c\,
konstans alap, függvény kitevő a^x\,  a^x \cdot ln |a|
hatvány x^c\, c \cdot x^{c-1}\,
exponenciális (e az Euler-féle szám) e^x\, e^x\,
természetes logaritmus \operatorname{ln}\,x \frac{1}{x}\,
logaritmus (a pozitív és nem 1) \log_a x\, \frac{1}{x\,\operatorname{ln}\,a}=\frac{\log_a e}{x}
Trigonometrikus függvények
szinusz \sin x\, \cos x\,
koszinusz \cos x\, - \sin x\,
tangens \operatorname{tg}\,x \frac{1}{\cos^2 x}=1+\operatorname{tg}^2 x
kotangens \operatorname{ctg}\,x -\frac{1}{\sin^2 x}= -1 - \operatorname{ctg}^2 x
Hiperbolikus függvények
hiperbolikus szinusz \operatorname{sh}\,x \operatorname{ch}\,x
hiperbolikus koszinusz \operatorname{ch}\,x \operatorname{sh}\,x
hiperbolikus tangens \operatorname{th}\,x \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x} = 1 - \operatorname{th}^2 x
hiperbolikus kotangens \operatorname{cth}\,x -\frac{1}{\operatorname{sh}^2 x} = 1 - \operatorname{cth}^2 x
Inverz trigonometrikus függvények
arkusz szinusz \operatorname{arc sin}\,x \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
arkusz koszinusz \operatorname{arc cos}\,x -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
arkusz tangens \operatorname{arc tg}\,x \frac{1}{1+x^2}
arkusz kotangens \operatorname{arc ctg}\,x -\frac{1}{1+x^2}
Inverz hiperbolikus függvények
area hiperbolikus szinusz \operatorname{ar sh}\,x \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
area hiperbolikus koszinusz \operatorname{ar ch}\,x \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}
area hiperbolikus tangens \operatorname{ar th}\,x \frac{1}{1-x^2}
area hiperbolikus kotangens \operatorname{ar cth}\,x \frac{1}{1-x^2}

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Az alapfogalmak kiváló feldolgozása megtalálható például a következő alapműben: Spivak, Michael, Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, 1994, ISBN 978-0-914098-89-8
  2. A differenciálhányados inkább egy pontbeli értéket jelent, a derivált pedig az ezekből álló függvényt. A megkülönböztetés azonban annyira jelentéktelen, hogy a szakirodalomban is összemosódik.
  3. Lásd Bátkai András, Differenciálszámítás, ELTE jegyzet.
  4. Differential calculus, derivative entry in Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, Jeff Miller & al

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Differenciálszámítás