Parciális derivált

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben parciális deriváltnak nevezzük a többváltozós függvények olyan deriváltját, amikor a függvényt egy rögzített változójának függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a többi változójelet konstans értéknek tekintjük. A többváltozós függvények parciális deriváltja az egyváltozós differenciálás hasznos általánosítása, a Fréchet-deriválttal együtt. Ha nem csak a szokásos módon, az Rn térben és annak n kitüntetett iránya mentén kívánjuk értelmezni a parciális derivált fogalmát, akkor két módon általánosíthatjuk. Az egyik az iránymenti derivált, a másik a lokálisan kompakt terekben alkalmazható Gateaux-derivált.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Adott, nyílt halmazon értelmezett

f:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}, (x_1, x_2, ..., x_n)\mapsto f(x_1, x_2, ..., x_n)

n változós valós értékű függvény x1 változó szerint parciálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy rögzített

(u_1, u_2, ..., u_n)\,

pontjában, ha az egyváltozós

f(\,.\,,u_1, u_2, ..., u_n):\;\mathsf{x_1}\mapsto f(\mathsf{x_1}, u_2, u_3, ..., u_n)

(ú. n. parciális-) függvény differenciálható az u1 helyen. Ekkor az előbbi parciális függvény u1-beli deriváltját az f függvény x1 szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Hasonlóképpen értelmezhető az x2, x3, … , xn szerinti parciális derivált, mely rendre az f(u1 , \cdot ,u3,…,un), f(u1,u2, \cdot ,u4, …, un), … , f(u1, u2,…, \cdot ) parciális függvények deriváltjai.

Jelölés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az f függvény értelmezési tartományának minden alkalmas pontjához hozzárendeljük az ottani parciális deriváltat, akkor szintén egy többváltozós függvényhez jutunk. A parciális derivált függvényeknek elég sok jelölésük van, melyek mindegyike adott esetben lényegesen megkönnyítheti az írásmódot. Az x1, x2, … , xn vagy x, y, z, …, w változóktól függő f függvény parciális derivált függvényei:

\partial_{1}f, \partial_{2}f, … , \partial_{n}f,
\partial_{x}f, \partial_{y}f, … , \partial_{w}f,
\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}, … , \frac{\partial f}{\partial w},
f'_x\,, f'_y\,, f'_z\,, … , f'_w\,
Egy z = f(x,y) kétváltozós függvény parciális deriváltjai egy adott (x0, y0) pontban a változókhoz tartozó parciális függvények deriváltjaiként értelmezhetők. A függvénygrafikonból ez geometriailag úgy származtatható, hogy az x = x0 illetve az y = y0 egyenletű síkokkal elmetsszük a függvény által meghatározott felületet és a keletkezett görbéknek, mint egyváltozós függvényeknek meghatározzuk a deriváltjait a keresett pontban. (Az ábrán az f(x,y)= sin(x2+y2)/(x2+y2), f(0,0)=1 függvény grafikonja látható, és az (1,-1) ponthoz tartozó f( . ,-1) és f(1, . ) parciális függvények.)

Deriválási szabályok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Linearitás: \partial_i(\lambda f + \mu g)(x)=\lambda\partial_if(x)+\mu\partial_i g(x)
Szorzat: \partial_i(f\cdot g)(x)=\partial_if(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot\partial_ig(x)
Projekciófüggvények: \partial_i x_k=\delta_{ik} /Kronecker-delta/
Függvénykompozíció: \partial_i(\varphi\circ f)(x)=\varphi'(f(x))\cdot \partial _if(x), \partial_i(f\circ F)(x)=\sum\limits_{k=1}^{m}(\partial_k f)(F(x))\cdot\partial_iF_k(x)

ahol φ:R\rightarrowR differenciálható, F: Rm\rightarrowRn komponensfüggvényenként parciálisan differenciálható függvény.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az adott térfogatú téglatestek közül melyiknek a legkisebb a felszíne, tehát milyen legyen a téglatest a, b és c éle, hogy eleget tegyen a

V=a\cdot b\cdot c=const.\,
A=2ab+2ac+2bc=min.\,

feltételnek?

Az első egyenletből a=V/(bc). Ezt a felszín képletébe írva a következő kétváltozós függvényt kapjuk:

A(b,c)=2\frac{V}{b}+2bc+2\frac{V}{c}

Ennek kell megkeresni a minimumát, mely ha elképzeljük a kétváltozós függvényt, akkor olyan pont, ahol a felülethez rajzolt érintősík „vízszintes”. Ez viszont pont akkor van, amikor a parciális függvények érintői szintén mindketten „vízszintesek”, azaz ahol teljesül: ∂bA = 0 és ∂cA = 0, tehát:

\frac{\partial A}{\partial b}=\frac{-2V}{b^2}+2c=0 és
\frac{\partial A}{\partial c}=\frac{-2V}{c^2}+2b=0

ahonnan V = b2c = bc2, vagyis c = b és V = b3, ez viszont azt jelenti, hogy a = b = c, azaz a keresett test a V térfogatú kocka.

Kapcsolat a teljes differenciállal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy f:Rn\mapstoR függvény totálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, akkor abban a pontban minden parciális deriváltja létezik. Ez ugyan megfordítva nem teljesül, de a teljes differenciálhatóságnak egyfajta elégséges feltételét megfogalmazhatjuk. Ha az u pontban az összes parciális derivált létezik és legfeljebb egy kivételével a parciális derivált függvények folytonosak u-ban, akkor f totálisan differenciálható.

A parciális deriváltak arra is jók, hogy felírhassuk segítségükkel a differenciál leképezés mátrixát. A differenciál mátrixa a Jf(u)ik=∂kfi(u) Jacobi-mátrix lesz, ahol fi függvény az f:Rm\mapstoRn függvény i-edik komponensfüggvénye.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]