Jacobi-mátrix

A Jacobi-mátrix egy vektorértékű függvény elsőrendű parciális deriváltjait tartalmazó mátrix. Legyen f : Rⁿ → R^m az n-dimenziós Euklideszi térből az m-dimenziós Euklideszi térbe képező függvény. Ekkor a vektorértékű függvény egyes komponensei: f₁(x₁,...,x_n), ..., f_m(x₁,...,x_n). Ezen m darab n-változós függvény parciális deriváltjaiból egy m x n-es mátrixot képezhetünk:

$J=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.$

Ezt hívjuk a Jacobi-mátrixnak. A Jacobi-determináns, a Jacobi-mátrix determinánsa.

A Jacobi-mátrix az egyváltozós skalár-függvények deriváltjának fogalmát terjeszti ki vektormezőkre, ahogy a gradiens a skalármezőkre teszi ugyanezt. Ha lineáris transzformációként fogjuk fel, akkor J adja meg az f függvény legjobb lineáris közelítését egy adott $\mathbf{x_0}$ pont körül, abban az értelemben hogy a Taylor-sorhoz hasonlóan elsőrendben:

$f(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{x_0}) + J(\mathbf{x_0})(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})$

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Jacobi-mátrix megadja hogy hogyan viselkedik az f függvény lokálisan.

Példa

Legyen $f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2$ a $f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c} x^2 + y^2 + z \cdot \sin(x) \\ z^2 + z \cdot \sin(y) \end{array} \right )$

képlettel megadott háromváltozós függvény.

Akkor

$\frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c} 2x + z \cdot \cos(x) \\ 0 \end{array} \right ), \;\;$

$\frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c} 2y \\ z \cdot \cos(y) \end{array} \right ), \;\;$

$\frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c} \sin(x) \\ 2z + \sin(y) \end{array} \right )$

és így a függvény Jacobi-mátrixa

$Df(x,y,z) = \left ( \begin{array}{ccc} 2x + z \cdot \cos(x) & 2y & \sin(x) \\ 0 & z \cdot \cos(y) & 2z + \sin(y) \end{array} \right )$