Gradiens

Két skalármező szürkeárnyalatosan ábrázolva (a sötétebb árnyalat nagyobb függvényértéknek felel meg). A kék nyilak a gradienseket jelzik.

A gradiens a matematikában egy skalármezőkre alkalmazható differenciáloperátor. A gradiens a függvények deriválásának általánosítása többváltozós függvényekre. Ennek vektormező az eredménye, ami azt mutatja, hogy változik a függvény, és megadja a skalármező legnagyobb megváltozásának irányát is.

Példaként tekintsünk egy térképet, amely megadja a magasságokat a h(x,y) függvénnyel: h(x,y) a magasság az (x,y) pontban. Ekkor h(x,y) gradiense a legnagyobb meredekség irányába mutat, és hossza a legnagyobb meredekség.

A gradiens a szintvonalakra merőleges, normája pedig a skalármezőnek, mint függvénynek a gradiens iránya menti deriváltja.

A gradienst a divergenciával és a rotációval együtt a vektoranalízis vizsgálja.

Skalármező gradiense

A $\varphi\left(\vec r\right)$ skalármező gradiensét a parciális deriváltak vektoraként definiálják. Csak azokban a pontokban értelmezhető, ahol az összes parciális derivált létezik. Jelölése $\nabla\varphi$ vagy $\operatorname{grad}\varphi$ . Itt $\nabla$ a nabla szimbóluma, és $\operatorname{grad}$ a gradiens függvényszimbóluma.

A három dimenziós euklidészi térben a $\varphi(x,y,z)$ skalármező gradiense derékszögű koordináta-rendszerben

$\operatorname{grad}\,\varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{e}_z = \begin{pmatrix} \frac{\partial\varphi}{ \partial x} \\ \frac{\partial\varphi} { \partial y} \\ \frac{\partial\varphi}{ \partial z} \end{pmatrix}$

Hengerkoordinátákban

$V = V\left( {r;\varphi ;z} \right)$

$\operatorname{grad}\, V = \nabla V = \frac{{\partial V}}{{\partial r}}\vec e_r + \frac{1}{r}\frac{{\partial V}}{{\partial \varphi }}\vec e_\varphi + \frac{{\partial V}}{{\partial z}}\vec e_z$

Gömbi koordinátákban

$V = V\left( {r;\vartheta ;\varphi } \right)$

$\operatorname{grad}\, V = \nabla V = \frac{{\partial V}}{{\partial r}}\vec e_r + \frac{1}{r}\frac{{\partial V}}{{\partial \vartheta }}\vec e_\vartheta + \frac{1}{{r\sin \vartheta }}\frac{{\partial V}}{{\partial \varphi }}\vec e_\varphi$

Az n dimenziós euklidészi térben

$\operatorname{grad}\,\varphi=\nabla\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial x_1} \vec e_1 + \cdots +\frac{\partial\varphi}{\partial x_n} \vec e_n = \begin{pmatrix} \frac{\partial\varphi}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial\varphi}{\partial x_n} \end{pmatrix}$

A gradiens sor- és oszlopvektorként is írható, a további felhasználásnak megfelelően.

Geometriai értelmezése

Egy skalármező gradiense egy pontban megadja a legnagyobb meredekség irányát és a legnagyobb meredekség nagyságát. Egy lokális minimumban, egy lokális maximumban vagy egy nyeregpontban a gradiens nulla, feltéve, hogy ezek a pontok az értelmezési tartomány belsejében vannak.

A gradiens segítségével tetszőleges irányú meredekség meghatározható. Ez a meredekség éppen az irány menti derivált.

Irány menti derivált

Az irány menti derivált az adott irány által kimetszett függvény deriváltja. Közelebbről

$D_{\vec v} \varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial\vec v}=\lim_{t\to 0}\frac{\varphi(\vec r+t\vec v)-\varphi(\vec r)}t.$.

Ha $\varphi$ differenciálható $\vec r$ egy környezetében, akkor az irány menti derivált az adott irányú normált vektor és a gradiens skalárszorzata:

$D_{\vec v} \varphi = {{\partial\varphi} \over {\partial\vec v}}=\left\langle\mathrm{grad}\varphi{,}\vec v\right\rangle$

Vektormező Jacobi-mátrixa

A parciális deriváltak vektora vektor értékű függvényekre is definiálható. Ha $\vec F:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m$ vektor értékű függvény, és koordinátafüggvényei rendre $F_1,\ldots,F_m$, akkor

$\vec F(x_1,\ldots,x_n) = \bigl(F_1(x_1,\ldots,x_n), \ldots, F_m(x_1,\ldots, x_n)\bigr)$.

Ekkor $\vec F$ deriváltja az $F_i$ (sorvektor) gradiensek oszlopvektoraként definiálható. Ennek a mezőnek a vektorgradiense a Jacobi-mátrix:

$\mathcal J_{\vec F}=\operatorname{grad}\vec F=\nabla\vec F= {{\partial (F_1,\ldots,F_m)} \over {\partial (x_1,\ldots,x_n)}}= \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$

$m=n$-re az eredmény egy másodfokú tenzor. Efféle tenzorok írják le például a fizikában a mechanikai feszültséget és az elaszticitást.

Számolási szabályok

Minden $c\in\R$ konstansra és $u,v:\R^n\to\R$ skalármezőre

• $\operatorname{grad}\,c=\vec{0}$

linearitás

• $\operatorname{grad}\,(c\cdot u)=c\cdot\operatorname{grad}\,u$
• $\operatorname{grad}\,(u+v)=\operatorname{grad}\,u+\operatorname{grad}\,v$

szorzási szabály

• $\operatorname{grad}\,(u\cdot v) = u\cdot\operatorname{grad}\,v + v\cdot\operatorname{grad}\,u$

Alkalmazások

Skalármező totális deriváltja

$\mathrm d \varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial x} \mathrm{d} x + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\mathrm{d} y + \frac{\partial\varphi}{\partial z} \mathrm{d}z = \operatorname{grad}\,\varphi\;\mathrm{d}\vec{r},\qquad\text{ahol}\quad \mathrm{d}\vec{r} = \begin{pmatrix}\mathrm{d}x\\\mathrm{d}y\\\mathrm{d}z\end{pmatrix}.$

A derékszögű koordinátákban vett gradiens a nabla operátorral:

$\vec{\nabla} = \sum_{a}{\vec{{e}}_{q_a}\frac{1}{h_a}\frac{\partial}{\partial{q_a}}},\qquad\text{ahol}\quad h_a = \left| {\frac{\partial{\vec{r}}}{\partial{q_a}}}\right|.$

További példák

Ha egy test részei különböző hőmérsékletűek, akkor a melegebb helyről hő áramlik a hidegebb helyek felé. Ha a testen belül a hővezetés képessége állandó, akkor a hőáramlás a hőmérsékleti gradiens konstansszorosa.

Források

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5
• http://www.sengpielaudio.com/SchallschnelleIstNichtDruckgradient.pdf