Vektormező

Vektormező ábrázolása. Az egyes pontokhoz hozzárendelt értékeket nyilak szemléltetik

A (-y,z,x) három dimenziós vektormező

A vektoranalízisben és a differenciálgeometriában a vektormező egy olyan függvény, ami egy tér vagy egy térrész pontjaihoz vektort rendel. A fizikában a mezőelméletben fontosak, például egy áramló folyadék részecskéinek sebességét, vagy egy erőtér pontjaiban az adott pontban fellépő erő nagyságát és irányát adja meg, például a mágneses vagy a gravitációs mezőben. Euklideszi téren és sokaságokon is értelmezhető.

Az euklideszi téren

Az $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ halmazon értelmezett $v$ vektormező egy olyan leképezés, ami minden $x \in \Omega$ ponthoz egy $v(x) \in \R^n$ vektort rendel, vagyis $v \colon \Omega \rightarrow \R^n$. Ha $v$ k-szor differenciálható, akkor a vektormező $C^k$-vektormező. A vektormezőket szemléltető ábrákon néhány $x \in \Omega$ pontban nyíllal jelölik a vektormező értékét, amely nyíl nagysága és iránya megegyezik a vektormező által az adott pontban felvett vektorral.

Példák

• Középpontos vektormezők: Legyen $I$ intervallum, ami tartalmazza a nullát, és $K(I) = \{x \in \R^n: \|x\| \in I\} \subset \R^n$ gömbhéj. A középpontos vektormező így definiálható a gömbhéjon:

$v(x) = a(\|x\|) \cdot x$ ha $a:I \rightarrow \R$.

• Az $\R^3 \backslash \{0\}$ téren a $v(x) = -\frac{x}{\|x\|^3}$ gravitációs mező középpontos vektormező.
• További példákat képez a rotáció, mint differenciáloperátor. Ezek az úgynevezett örvénymezők. Ezeknek a mezőknek van egy $\mathbf A$ vektorpotenciáljuk, ahol is $\mathbf v(\mathbf r)=\mathbf{rot \,\,}\mathbf A$. Erre példák a fürdőkádban a lefolyónál kialakuló örvények, vagy az áramjárta vezető környezetében kialakuló mágneses tér.
• Gradiensmező, egy skalármező gradiense. Ha $f \colon \Omega \rightarrow \R$ a skalármező, akkor gradiense

$x \mapsto \operatorname{grad} f(x) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x)\right)$.

a nabla operátorral:

$\operatorname{grad} f = \nabla f.$

Ha a vektormező gradiensmező, akkor van skalárpotenciálja. A $\operatorname{grad} f \colon \Omega \rightarrow \R^n$ vektormező skalárpotenciálja $f \colon \Omega \rightarrow \R$ . Ekkor a vektormező potenciálos. Gradiensmező a pontforrásból kifelé folyó áramlás, és a ponttöltés körüli elektromos mező.

Felbontási tétel

Egy kétszer folytonosan differenciálható $\mathbf v(\mathbf r)$ $\mathbb R^3$ vektormező forrásmentes, illetve örvénymentes, ha divergenciája illetve rotációja azonosan nulla. Ha még azt is kikötjük, hogy a $\mathbf v$ vektormező elég gyorsan tart a nullához a végtelenben, akkor teljesül a felbontási tétel: Minden $\mathbf v(\mathbf r)$ vektormezőt egyértelműen meghatároznak a forrásai és az örvényei, és felbontható forrás- és örvénymentes vektormezők összegére:

$\mathbf v(\mathbf r)\equiv \mathbf{-grad_{\mathbf r}\,\,} \int_{\mathbb R^3\,}\,d^3\mathbf r'\,\frac{\mathrm{{div'}\,\,}\mathbf v(\mathbf r')}{4\pi|\mathbf r -\mathbf r'|}+ \mathbf{rot_{\mathbf r}\,\,} \int_{\mathbb R^3\,}\,d^3\mathbf r'\,\,\frac{{\mathbf{rot'\,\,}}\mathbf v(\mathbf r')}{4\pi|\mathbf r -\mathbf r'|}\,.$

Ez megfelel a statikus elektromágneses mező elektromos, illetve mágneses mezőre való felbontásának, ahol is a forrásmentes rész a mágneses, és az örvénymentes rész az elektromos mező. Az is teljesül még, hogy éppen a gradiensmezők örvénymentesek, és éppen az örvénymezők forrásmentesek. Itt $\mathbf{grad\,\,}\phi(\mathbf r):=\nabla\phi\,,$   $\mathrm{div\,\,}\mathbf v:=\nabla\cdot\mathbf v$ és $\mathbf{rot\,\,}\mathbf v:=\nabla\times \mathbf v$ az ismert, nabla operátorral kifejezhető differenciáloperátorok.

Sokaságokon

Jelöljön $M$ differenciálható sokaságot. Ekkor a rajta értelmezett vektormezők a TM érintősereg sima metszetei.

Pontosabban, ha a $v$vektormező $C^k$-leképezés, akkor $v : M \to TM$ ahol $\pi\circ v = \operatorname{id}_M$. Minden $x \in M$ -hez egy $v(x) \in T_xM$ vektort rendel. A $\pi$ leképezés a $\pi : TM \rightarrow M$ természetes vetülete, ahol $(p,v) \mapsto p$.

Ez a definíció az euklideszi vektortérbeli vektormezőt általánosítja. Ugyanis $\R^n \cong T_p\R^n$ és $T \R^n \cong \R^n \times \R^n$.

A vektormezőktől eltérően a skalármezők a sokaság minden pontjáhopz egy skalár rendelnek.

Alkalmazások

A vektor- és az erőtereket a fizikán és a kémián kívül még a technika különböző területein is alkalmazzák: a geodéziában, az elektrotechnikában, a mechanikában, az atomfizikában és az alkalmazott geofizikában.

Források

• Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. javított kiadás. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20389-3.
• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7.
• John M. Lee: Introduction to smooth manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer, New York u. a. 2003, ISBN 0-387-95495-3.