Derivált

A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált.

A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény

• menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e),
• szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma),
• grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe)
• a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan)
• a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére.

A derivált fogalma a 16. és a 17. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre, alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes tartalma enélkül is megérthető.

Pontos definíció és jelölések

Legyen f egyváltozós valós függvény, x₀ az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x₀-beli deriváltján vagy differenciálhányadosán a

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).

Mivel a határérték egyértelmű, ha egyáltalán létezik, ugyanígy a derivált is egyértelmű. A fenti határérték, azaz a derivált jele:

$f'(x_0)\,$, vagy $\frac{df(x_0)}{dx}$, vagy $\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x_0}$

Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte: $\scriptstyle{\dot{v}}$ és fluxiónak nevezte.

Rögzített x esetén az

$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak szokás nevezni. Ezután a derivált definiálható úgy is, mint a különbségi hányados $x \to x_0$ melletti határértéke.

A jobb oldali derivált akkor létezik, ha a $\lim\limits_{x\to x_0+0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0+0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ határérték létezik és véges.

A bal oldali derivált akkor létezik, ha a $\lim\limits_{x\to x_0-0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0-0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ határérték létezik és véges.

Magyarázat

Az x pontbeli differenciálhányados a fenti definícióval ekvivalens módon felírható a következőképpen is:

$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ illetve $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

h-t, illetve Δx-et a független változó növekményének, míg f(x+h) – f(x)-et, illetve f(x+Δx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes értelmezésekkel kapcsolatos.

Mechanikai értelmezés

A vizsgált függvényt egy mozgó test s(t) út-idő összefüggésének tekintve, t időpontra és Δt időtartamra a következőképp írható fel a különbségi hányados:

$\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\,$

A számlálóban a megtett út, a nevezőben az út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintervallumban számított átlagsebességét adja. Ha „egyre kisebb” Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, … másodpercre (a lényeg, hogy 0-hoz tartunk), akkor a hányados értéke egyre kevésbé változik, és egyre inkább csak a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet adja:

$v(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\,=\dot{s}(t)$

Az $\scriptstyle{\dot{s}(t)}$ pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.

Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmazta, így ebben a tudományban nagyon sok fogalom feltételezi a deriválás eszközét.

Kiszámítása

Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában „egyszerre” (azaz függvényként), nehézség nélkül megadhatjuk. Például legyen a deriválandó függvény:

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}; x\mapsto x^3$

A különbségi hányados tetszőleges x pontban és tetszőleges Δx-re:

$\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^3 - x^3}{\Delta x} =$

$= \frac{(x^3 + 3 x ^2 \Delta x + 3 x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - x^3}{\Delta x} =$

$= \frac{3 x ^2 \Delta x + 3 x (\Delta x) ^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}$

Vagyis a derivált:

$f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{3 x ^2 \Delta x + 3 x (\Delta x) ^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}$

A határérték-számítás miatt Δx ≠ 0, ezért lehet vele egyszerűsíteni:

$f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{3 x ^2 \Delta x + 3 x (\Delta x) ^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}(3 x^2 + 3 x \cdot \Delta x + (\Delta x)^2)$

A kifejezés Δx-re másodfokú. A polinomfüggvények folytonosságát felhasználva a határérték egyszerűen a Δx=0 behelyettesítéssel számolható.

Fontos, hogy magát a különbségi hányadost nem kell kiértékelnünk Δx=0 esetben, hiszen határérték-számítást végzünk, viszont a folytonosság miatt a már egyszerűsített kifejezésbe beírhatjuk Δx helyére a 0-t:

$f'(x)= 3 x^2 + 3 x \cdot 0 + 0^2\,$

$f'(x)= 3 x^2\,$

Elemi függvények deriváltjai

Függvény neve	jele	deriváltja
konstans	$c\,$	$0\,$
konstans szorzó	$c \cdot x\,$	$c\,$
hatvány	$x^c\,$	$c \cdot x^{c-1}\,$
exponenciális (e az Euler-féle szám)	$e^x\,$	$e^x\,$
természetes logaritmus	$\operatorname{ln}\,x$	$\frac{1}{x}\,$
logaritmus (a pozitív és nem 1)	$\log_a x\,$	$\frac{1}{x\,\operatorname{ln}\,a}=\frac{\log_a e}{x}$
Trigonometrikus függvények
szinusz	$\sin x\,$	$\cos x\,$
koszinusz	$\cos x\,$	$- \sin x\,$
tangens	$\operatorname{tg}\,x$	$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\operatorname{tg}^2 x$
kotangens	$\operatorname{ctg}\,x$	$\frac{-1}{\sin^2 x}= -1 - \operatorname{ctg}^2 x$
Hiperbolikus függvények
hiperbolikus szinusz	$\operatorname{sh}\,x$	$\operatorname{ch}\,x$
hiperbolikus koszinusz	$\operatorname{ch}\,x$	$\operatorname{sh}\,x$
hiperbolikus tangens	$\operatorname{th}\,x$	$\frac{1}{\operatorname{ch}^2 x} = 1 - \operatorname{th}^2 x$
hiperbolikus kotangens	$\operatorname{cth}\,x$	$\frac{-1}{\operatorname{sh}^2 x} = 1 - \operatorname{cth}^2 x$
Inverz trigonometrikus függvények
arkusz szinusz	$\operatorname{arc sin}\,x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
arkusz koszinusz	$\operatorname{arc cos}\,x$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
arkusz tangens	$\operatorname{arc tg}\,x$	$\frac{1}{1+x^2}$
arkusz kotangens	$\operatorname{arc ctg}\,x$	$\frac{-1}{1+x^2}$
Inverz hiperbolikus függvények
area hiperbolikus szinusz	$\operatorname{ar sh}\,x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
area hiperbolikus koszinusz	$\operatorname{ar ch}\,x$	$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
area hiperbolikus tangens	$\operatorname{ar th}\,x$	$\frac{1}{1-x^2}$
area hiperbolikus kotangens	$\operatorname{ar cth}\,x$	$\frac{1}{1-x^2}$

További információk

• Magyarított Flash animáció a derivált geometriai jelentéséről a szinusz függvény példáján. Szerző: David M. Harrison