Divergencia (vektoranalízis)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A divergencia, ahogy a rotáció, a vektoranalízis egy differenciáloperátora. Mind differenciálgeometriai, mind fizikán belüli alkalmazásai jelentősek. Legszemléletesebb képét az áramlástanban nyeri el, ahol azt mutatja meg, hogy egy kis térfogatból mennyi folyadék áramlik ki. Ha a térfogatban folyadékforrás van, akkor a divergencia pozitív, ha nyelő, akkor negatív, ha a folyadék csak keresztüláramlik a vizsgált térfogatrészen, akkor a divergencia nulla. Mindezek miatt a divergenciát néha forráserősségnek is nevezik a középiskolai fizikatankönyvek.

Másrészt a differenciálegyenletek elméletében gyakran csak koordinátáival hivatkoznak rá, ami annak köszönhető, hogy kifejezhető parciális deriváltak összegeként.

Háromdimenziós eset[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen v : R3\rightarrowR3 egy nyílt halmazon értelmezett differenciálható függvény (vektormező). Tekintsük valamely r pontban a v Fréchet-deriváltjának sztenderd bázis szerinti koordinátamátrixát (Jacobi-mátrix). E mátrix főátlóbeli elemeinek összegét (spurját vagy nyomát) nevezzük a v divergenciájának:

div\;\mathbf{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}

ahol vx, vy, vz a v három koordinátafüggvénye, mellyel v=(vx, vy, vz). Belátható, hogy ez a szám bázisfüggetlen. Akármilyen bázisban is írjuk fel a divergencia értékét, mindig ugyanaz a szám lesz. Ezt jól jellemzi, hogy a divergencia kifejezhető bázisoktól független módon is, határértékként:

div\; \mathbf{v}=\lim\limits_{\mathcal{F}\to \mathbf{r}}\frac{1}{V}\int\limits_{\mathcal{F}}\mathbf{v}\,d\mathbf{F}

ahol F az r pontot körülölelő, egyszeresen összefüggő tartományt bezáró felület, a bezárt tartomány térfogata V és ∫v dF pedig a v-nek az F felületre vonatkozó felületi integrálja (fluxus).

A divergencia előbbi kifejezéséből következik a következő integrálátalakító formula, melyet divergenciatételnek vagy matematikai Gauss-tételnek neveznek:

\int\limits_{V}\operatorname{div}\,\mathbf{v}\,dV = \oint\limits_{\mathcal{F}}\mathbf{v}\,d\mathbf{F}

azaz egy vektormező divergenciájának térfogati integrálja egy egyszeresen összefüggő tartományra egyenlő a vektormezőnek a tartomány zárt határfelületére vett felületi integráljával.

Általános eset[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsünk egy E véges dimenziós normált teret és benne egy nyílt halmazon értelmezett v : E\mapstoE differenciálható függvényt. Az ilyen függvényt is vektormezőnek neveznek. Ekkor létezik egy kitüntetett lineáris leképezés Hom(E,E)-ben, melyet kanonikus nyomformának nevezünk és Tr-rel (Trace) vagy Sp-val (Spur) jelölünk. Ezt az tünteti ki, hogy minden xE elemre és A ∈ Hom(E,E) invertálható leképezésre teljesül:

\operatorname{Tr}(AxA^{-1})=\operatorname{Tr}(x)\,

azaz a bázistranszformációra nézve invariáns. A v függvény divergenciája egy a pontban definíció szerint, a nyomforma és a differenciál kompozíciója:

\operatorname{div}\,\mathrm{v}= \mathbf{Tr}\circ D\mathrm{v}(a)

Mivel a differenciál (deriválttenzor) is invariáns a bázistranszformációra, ezért a divergencia is az.

Indexes írásmód[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A divergencia, mint v \mapsto div v differenciáloperátor kifejezhető a ∇ (nabla) formalizmussal. Eszerint, \operatorname{div}\,\mathbf{v}=\nabla\cdot \mathbf{v} skalárszorzással, vagy az indexes írásmódban, illetve az Einstein-konvenció értelmében:

\operatorname{div}\,\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^3\partial_i v_i=[\mbox{Einstein-konv.}]=\partial_i v_i

Azonosságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • \operatorname{div}\,\vec{c} = 0
  • \operatorname{div}\,(c\cdot\vec{F}) =c\cdot\operatorname{div}\,\vec{F}
  • \operatorname{div}\,(\vec{F}+\vec{G}) =\operatorname{div}\,\vec{F}+\operatorname{div}\,\vec{G}
  • \operatorname{div}\,(u\cdot\vec{F}) =\operatorname{grad}\,u\cdot\vec{F}+u\cdot\operatorname{div}\,\vec{F}
  • \operatorname{div}(\vec{F}\times\vec{G}) = \vec{G}\,\operatorname{rot}\,\vec{F} - \vec{F}\,\operatorname{rot}\,\vec{G}

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A divergenciáról szemléletesen (magyar)