Rotáció

A rotáció, ahogy a divergencia, a vektoranalízis egy differenciáloperátora. Mind differenciálgeometriai, mind fizikán belüli alkalmazásai jelentősek. Legszemléletesebb képét az áramlástanban nyeri el, ahol azt mutatja meg, hogy örvénylik a folyadék egy kis térfogatban.

Ha egy vektormező rotációja mindenütt nulla, akkor ez a vektormező örvénymentes.

Néhány gyakorlati példa

• A forgószelek egy úgynevezett szem körül örvénylenek. A forgószelet leíró vektormező rotációja nem nullvektor a szemben, és lehet, hogy máshol sem.
• Egy forgó tárcsa pontjainak sebességét leíró vektormező rotációja minden pontban ugyanaz a nullvektortól különböző vektor.
• A következő példa egy autópálya, ahol az egyes sávokon különböző sebességgel haladnak az autók. Ha ez a sebesség balról jobbra növekszik, akkor a sávokat elválasztó vonalakon a rotáció szintén nem nullvektor.

Definíció

Az $F=\left(F_x, F_y, F_z\right)$ három dimenziós vektormező rotációja szintén három dimenziós vektormező. Jelölése :$\operatorname{rot}\vec F = \operatorname{curl}\vec F = \nabla\times\vec F$ , ahol $\nabla$ a nabla operátor, és rot a rotáció függvényszimbóluma. A kereszt egy formális keresztszorzatot jelent, így a rotáció a derékszögű koordináta-rendszerben:

$\begin{matrix} \operatorname{rot}: & C^{\infty}(\R^3,\R^3) & \rightarrow & C^{\infty}(\R^3,\R^3) \\ & \vec F=\left(F_x, F_y, F_z\right) & \mapsto & \nabla\times\vec F \end{matrix}$

ahol is a keresztszorzat a következő összefüggést adja: :$\nabla\times\vec F = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} F_x\\ F_y\\ F_z \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} \vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{pmatrix}$

A keresztszorzat definíciója alapján a rotáció formális determinánsként írható fel.

Gömbi koordinátákkal:

$\operatorname{rot}\vec F = \begin{pmatrix} \frac{1}{r \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta} \left( F_\phi \sin \theta \right) - \frac{\partial F_\theta}{\partial \phi } \right] \\ \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial F_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\phi \right) \\ \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\theta \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right] \end{pmatrix}$

Hengerkoordinátákkal: :$\operatorname{rot}\vec F = \begin{pmatrix} \frac 1 r \frac {\partial F_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial F_\varphi}{\partial z} \\ \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r} \\ \frac 1 r \left[ \frac \partial {\partial r} \left( r \cdot F_\varphi \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right] \end{pmatrix}$

Görbe vonalú derékszögű koordináta-rendszerben:

$\vec{\nabla} \times\vec{F}= \frac{\vec{e}_{q_{1}}} {h_2h_3} \left[ \frac{ \partial (h_3F_3)}{\partial q_2} - \frac{ \partial (h_2F_2)}{\partial q_3}\right] + {}$ $\frac{\vec{e}_{q_{2}}} {h_1h_3} \left[ \frac{ \partial (h_1F_1)}{\partial q_3} - \frac{ \partial (h_3F_3)}{\partial q_1}\right] + {}$ $\frac{\vec{e}_{q_{3}}} {h_1h_2} \left[ \frac{ \partial (h_2F_2)}{\partial q_1} - \frac{ \partial (h_1F_1)}{\partial q_2}\right]$, ahol $h_a = {\left| {\frac{\partial{\vec{r}}}{\partial{q_a}}} \right| }$

A rotáció előjelet vált, ha balos koordináta-rendszerről jobbos koordináta-rendszerre térünk át.

Két dimenzióban

A $\vec V=\left(V_x, V_y\right)$ vektortérben a következő módon számítható a rotáció:

$\operatorname{rot}\vec V = \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y}$

Ez éppen egy három dimenziós vektormező rotációjának a harmadik koordinátája.

A rotáció mint örvénysűrűség

Az örvénysűrűségként való értelmezés a Stokes-tétel következő infinitezimális alakján nyugszik:

$({\rm rot}\,\mathbf F)\cdot\mathbf n :=\lim_{\rm \Delta S^{(2)} \to 0}\,\{ \frac{1}{|\Delta S^{(2)}|}\,\oint_\Gamma\,\mathbf F\cdot{\rm d}\mathbf r \}$

Itt $\Delta S^{(2)}$ egy tetszőlegesen irányított $\mathbf n$ normálisú kis felületdarab; felszíne $|\Delta S^{(2)}|$, és irányított határgörbéje $\Gamma=\partial (\Delta S^{(2)})$.

A divergenciával analóg módon a legtöbb itt megadott állítás levezethető ebből a formulából.

Felbontási tétel

A $\mathbf v(\mathbf r)$ kétszer folytonosan differenciálható három dimenziós vektormező, amely a végtelenben elég gyorsan tart nullához, felbontható egy $\mathbf E$ örvénymentes rész és egy forrásmentes $\mathbf B$ rész összegére:

$\mathbf v=\mathbf E +\mathbf B$.

Az örvénymentes részt meghatározza a forrássűrűsége:

$\mathbf E(\mathbf r)=-\nabla \Phi(\mathbf r )$, ahol $\Phi (\mathbf r)=\int_{\mathbb R^3}\,{\rm d}^{(3)}r'\,\,\frac{{\rm div}\,\mathbf E(\mathbf r')}{4\pi|\mathbf r -\mathbf r'|}$.

A forrásmentes részre hasonlók teljesülnek, ha $\Phi$ skalárpotenciálja helyett az $\mathbf A$ vektorpotenciált vesszük, és a $-\nabla\,\Phi$ meg a ${\rm div}\,\,\mathbf E$ kifejezéseket a ${\rm rot}\,\mathbf A$ meg a ${\rm rot}\,\mathbf B$ kifejezések helyettesítik

Stokes integráltétele

A rotáció szerepet játszik a vektoranalízisben fontos Stokes-tételben, aminek segítségével a felszíni integrál görbe menti integrállá alakítható:

$\iint_{M} (\operatorname{rot}\vec {F}) \cdot \mathrm{d}\vec {A} = \oint_{\partial M} \vec {F} \cdot \mathrm{d}\vec {r}$

Számolási szabályok

Minden $c\in\R$ konstansra, minden $u\;$ skalármezőre és minden $\vec{F}$, $\vec{G}$ vektormezőre fennáll:

linearitás

• $\operatorname{rot}(c \cdot\vec{F}) = c\cdot\operatorname{rot}\vec{F}$
• $\operatorname{rot}(\vec{F}+\vec{G}) =\operatorname{rot}\vec{F}+\operatorname{rot}\vec{G}$

differenciálformák

• $\operatorname{rot}~\operatorname{grad}\,u=\vec 0$
• $\operatorname{rot}(u\cdot\vec{F}) = u\cdot\operatorname{rot}\vec{F} + (\operatorname{grad}\,u)\, \times\vec{F}$

további szorzási szabályok

• $\operatorname{rot}(\vec{F}\times\vec{G}) = \left(\vec{G}\cdot\operatorname{grad}\right)\vec{F} - \left(\vec{F}\cdot\operatorname{grad}\right)\vec{G} + \vec{F}\,(\operatorname{div}\,\vec{G}) - \vec{G}\,(\operatorname{div}\,\vec{F})$
• $\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F})=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\,\vec{F}) - \Delta \,\vec{F}$

Általánosítás tetszőleges fokú tenzormezőkre

Egy vektormező értelmezhető elsőfokú tenzormezőként. Az Einstein-féle összegkonvenció és a Levi-Civita-szimbólum alapján egy vektormező rotációja így írható:

$(\nabla\times\vec F)_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_k$

A tetszőleges fokú $F_{j_1,j_2,\dots,j_N}$ tenzorokra ez alapján az általánosítás nyilvánvaló:

$(\nabla\times F)_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_{j_1,j_2,\dots,j_{N-1},k}$

Források

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5

Külső hivatkozások

A rotációról érthetően (magyar)