Rotáció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A rotáció, ahogy a divergencia, a vektoranalízis egy differenciáloperátora. Mind differenciálgeometriai, mind fizikán belüli alkalmazásai jelentősek. Legszemléletesebb képét az áramlástanban nyeri el, ahol azt mutatja meg, hogy örvénylik a folyadék egy kis térfogatban.

Ha egy vektormező rotációja mindenütt nulla, akkor ez a vektormező örvénymentes.

Néhány gyakorlati példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A forgószelek egy úgynevezett szem körül örvénylenek. A forgószelet leíró vektormező rotációja nem nullvektor a szemben, és lehet, hogy máshol sem.
  • Egy forgó tárcsa pontjainak sebességét leíró vektormező rotációja minden pontban ugyanaz a nullvektortól különböző vektor.
  • A következő példa egy autópálya, ahol az egyes sávokon különböző sebességgel haladnak az autók. Ha ez a sebesség balról jobbra növekszik, akkor a sávokat elválasztó vonalakon a rotáció szintén nem nullvektor.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az F=\left(F_x, F_y, F_z\right) háromdimenziós vektormező rotációja szintén háromdimenziós vektormező. Jelölése :\operatorname{rot}\vec F = \operatorname{curl}\vec F = \nabla\times\vec F , ahol \nabla a nabla operátor, és rot a rotáció függvényszimbóluma. A kereszt egy formális keresztszorzatot jelent, így a rotáció a derékszögű koordináta-rendszerben:


\begin{matrix}
  \operatorname{rot}: & C^{\infty}(\R^3,\R^3) &
    \rightarrow & C^{\infty}(\R^3,\R^3) \\ &
  \vec F=\left(F_x, F_y, F_z\right) &
    \mapsto &
     \nabla\times\vec F
\end{matrix}

ahol is a keresztszorzat a következő összefüggést adja: :
\nabla\times\vec F =
\begin{pmatrix}
  \frac{\partial}{\partial x} \\
  \frac{\partial}{\partial y} \\
  \frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
  F_x\\
  F_y\\
  F_z
\end{pmatrix}
=
\begin{vmatrix}
  \vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\
  \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
  F_x & F_y & F_z
\end{vmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\
  \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\
  \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\end{pmatrix}

A keresztszorzat definíciója alapján a rotáció formális determinánsként írható fel.

Gömbi koordinátákkal:

\operatorname{rot}\vec F =
\begin{pmatrix}
  \frac{1}{r \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta} \left( F_\phi \sin \theta \right) - \frac{\partial F_\theta}{\partial \phi } \right] \\
  \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial F_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\phi \right) \\
  \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\theta \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right]
\end{pmatrix}

Hengerkoordinátákkal: :\operatorname{rot}\vec F =
\begin{pmatrix}
\frac 1 r \frac {\partial F_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial F_\varphi}{\partial z} \\
\frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r} \\
\frac 1 r \left[ \frac \partial {\partial r} \left( r \cdot F_\varphi \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right]
\end{pmatrix}

Görbe vonalú derékszögű koordináta-rendszerben:

\vec{\nabla} \times\vec{F}=    \frac{\vec{e}_{q_{1}}}  {h_2h_3}    \left[  \frac{ \partial (h_3F_3)}{\partial q_2} - \frac{ \partial (h_2F_2)}{\partial q_3}\right] + {} \frac{\vec{e}_{q_{2}}}  {h_1h_3}    \left[  \frac{ \partial (h_1F_1)}{\partial q_3} - \frac{ \partial (h_3F_3)}{\partial q_1}\right] + {} \frac{\vec{e}_{q_{3}}}  {h_1h_2}    \left[  \frac{ \partial (h_2F_2)}{\partial q_1} - \frac{ \partial (h_1F_1)}{\partial q_2}\right], ahol h_a = {\left| {\frac{\partial{\vec{r}}}{\partial{q_a}}} \right| }

A rotáció előjelet vált, ha balos koordináta-rendszerről jobbos koordináta-rendszerre térünk át.

Két dimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A \vec V=\left(V_x, V_y\right) vektortérben a következő módon számítható a rotáció:

\operatorname{rot}\vec V = \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y}

Ez éppen egy háromdimenziós vektormező rotációjának a harmadik koordinátája.

A rotáció mint örvénysűrűség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az örvénysűrűségként való értelmezés a Stokes-tétel következő infinitezimális alakján nyugszik:

({\rm rot}\,\mathbf F)\cdot\mathbf n :=\lim_{\rm \Delta S^{(2)} \to 0}\,\{ \frac{1}{|\Delta S^{(2)}|}\,\oint_\Gamma\,\mathbf F\cdot{\rm d}\mathbf r \}

Itt \Delta S^{(2)} egy tetszőlegesen irányított \mathbf n normálisú kis felületdarab; felszíne |\Delta S^{(2)}|, és irányított határgörbéje \Gamma=\partial (\Delta S^{(2)}).

A divergenciával analóg módon a legtöbb itt megadott állítás levezethető ebből a formulából.

Felbontási tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A \mathbf v(\mathbf r) kétszer folytonosan differenciálható háromdimenziós vektormező, amely a végtelenben elég gyorsan tart nullához, felbontható egy \mathbf E örvénymentes rész és egy forrásmentes \mathbf B rész összegére:

\mathbf v=\mathbf E +\mathbf B.

Az örvénymentes részt meghatározza a forrássűrűsége:

\mathbf E(\mathbf r)=-\nabla \Phi(\mathbf r ), ahol \Phi (\mathbf r)=\int_{\mathbb R^3}\,{\rm d}^{(3)}r'\,\,\frac{{\rm div}\,\mathbf E(\mathbf r')}{4\pi|\mathbf r -\mathbf r'|}.

A forrásmentes részre hasonlók teljesülnek, ha \Phi skalárpotenciálja helyett az  \mathbf A vektorpotenciált vesszük, és a -\nabla\,\Phi meg a {\rm div}\,\,\mathbf E kifejezéseket a {\rm rot}\,\mathbf A meg a {\rm rot}\,\mathbf B kifejezések helyettesítik

Stokes integráltétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A rotáció szerepet játszik a vektoranalízisben fontos Stokes-tételben, aminek segítségével a felszíni integrál görbe menti integrállá alakítható:

 \iint_{M} (\operatorname{rot}\vec {F}) \cdot \mathrm{d}\vec {A} = \oint_{\partial M} \vec {F} \cdot \mathrm{d}\vec {r}

Számolási szabályok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden c\in\R konstansra, minden u\; skalármezőre és minden \vec{F}, \vec{G} vektormezőre fennáll:

linearitás

  • \operatorname{rot}(c \cdot\vec{F}) = c\cdot\operatorname{rot}\vec{F}
  • \operatorname{rot}(\vec{F}+\vec{G}) =\operatorname{rot}\vec{F}+\operatorname{rot}\vec{G}

differenciálformák

  • \operatorname{rot}~\operatorname{grad}\,u=\vec 0
  • \operatorname{rot}(u\cdot\vec{F}) = u\cdot\operatorname{rot}\vec{F} + (\operatorname{grad}\,u)\, \times\vec{F}

további szorzási szabályok

  • \operatorname{rot}(\vec{F}\times\vec{G}) = \left(\vec{G}\cdot\operatorname{grad}\right)\vec{F} - \left(\vec{F}\cdot\operatorname{grad}\right)\vec{G} + \vec{F}\,(\operatorname{div}\,\vec{G}) - \vec{G}\,(\operatorname{div}\,\vec{F})
  • \operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{F})=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\,\vec{F}) - \Delta \,\vec{F}

Általánosítás tetszőleges fokú tenzormezőkre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy vektormező értelmezhető elsőfokú tenzormezőként. Az Einstein-féle összegkonvenció és a Levi-Civita-szimbólum alapján egy vektormező rotációja így írható:


(\nabla\times\vec F)_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_k

A tetszőleges fokú F_{j_1,j_2,\dots,j_N} tenzorokra ez alapján az általánosítás nyilvánvaló:


(\nabla\times F)_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_{j_1,j_2,\dots,j_{N-1},k}


Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A rotációról érthetően (magyar)