Skalártér

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az x²+y² skalármező

A fizikában a skalártér, más néven skalármező egy-egy skalármennyiséget rendel a tér minden pontjához (ld. függvény). Ha a skalármennyiség nem valódi skalár, hanem pszeudoskalár, akkor a teret pszeudoskalártérnek nevezzük. A tér lehet a szokásos euklideszi tér (másképpen hármastér), de Minkowski-tér (a fizikában másképpen ez a négyestér) is. Például minden ponthoz hozzárendelik az ottani hőmérsékletet. A skalármezők a vektoranalízisben is fontosak.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a φ(P) függvény a tér vagy egy térrész minden pontjához egy számot (skalárt) rendel, akkor φ(P) skalármező. Matematikai szempontból a skalármező értelmezési tartománya vektortér, vagy annak egy része, de a fizikai alkalmazásokban nem foglalkoznak ezzel.

P \in \mathbb {R}^n
\varphi:\ \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}
P\mapsto\varphi(P)

Speciálisan, n=3-ra:

P=(x,y,z)
\varphi:\ \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}
P\mapsto\varphi(P)=\varphi(x,y,z)

Fizikai példák skalártérre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szintfelületek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szintfelületek (nívóhalmazok) azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a skalármező értéke állandó. Síkon értelmezett skalármező esetén inkább szintvonalakról (nívóvonalakról) beszélnek. A skalármező értelmezési tartományának minden pontján áthalad egy, és csak egy szintfelület. A szintfelületek merőlegesen metszenek minden rajtuk áthaladó felületi görbét.

Operátorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A skalártérre a következő differenciáloperátorok alkalmazhatók:

Integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A skalármezőnek felületi integrálja van. Ez az integrál így számítható:

\int _S \phi dS=\int \int _T \phi (r(u,v))|r_u \times r_v|du dv

ahol φ a skalármező és S a felület.

Green-formula[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A skalármezők a Green-formulában is megjelennek.

S egyszerű zárt felület, kifelé irányított normálvektorral. Jelölje V az S által körülzárt térrészt, és legyenek a φ, ψ vektormezők kétszer folytonosan differenciálhatók! Ekkor

\int \int _S (\phi \mathrm{grad} \psi- \psi \mathrm{grad} \phi )dS=\int _V (\phi \triangle \psi- \psi \triangle \phi)dV

ahol \triangle a Laplace-operátor.

Más típusú terek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

BME PPKE