Inverzfüggvény-tétel

Az inverzfüggvény-tétel a matematikai analízisben egy differenciálható függvény inverzének létezésére ad (lokális vagy globális) feltételt. A differenciálható függvényeknek megvan az a szemléletes tulajdonsága, hogy a függvény görbéje belesimul az érintőbe. Ha ott az érintő meredeksége nem nulla, akkor a függvény egy kis szakaszon szigorúan monoton, így invertálható. Az inverzfüggvény-tétel erre az intuitív szituációnak a megvalósulására fogalmaz meg biztos matematikai feltételeket.

Egyváltozós eset

Szinte nyilvánvaló, bár sok fontos eszközt felvonultató a következő R-re vonatkozó tétel.

Tétel – Inverzfüggvény-tétel – Ha az f : $I$ $\rightarrow$ R nyílt intervallumon értelmezett, differenciálható függvény valamely u ∈ $I$ pontban folytonos, nemnulla deriválttal rendelkezik, akkor u-nak létezik $I$-ben olyan V nyílt környezete, hogy $f|_{V}\,$ leszűkített függvény

1. invertálható,
2. diffeomorfizmus (inverzével együtt differenciálható) és
3. minden x ∈ V-re $(f^{-1})'(f(x))$ = $1/f'(x)\,$.

Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $f'(u)\,$ > 0 (ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Ekkor $f'\,$ u-beli folytonossága miatt létezik $I$-ben olyan u-t tartalmazó nyílt V környezet, hogy $f'|_{V}\,$ minden értéke pozitív, amiből következik, hogy V-ben f szigorúan monoton nő. Eszerint itt f injektív. Mivel f differenciálható, pozitív deriváltú (és injektív), ezért az inverz is differenciálható, így f diffeomorfizmus és az inverz deriváltja a szokásos képlettel számítható. ■

Ha lecsupaszítjuk az előző, túl erős megszorításokat tartalmazó állítás feltételeit, akkor az erős differenciálhatóság fogalmához jutunk. Ezzel az inverzfüggvény-tétel egy páratlanul erős alakban mondható ki.

Tétel – Inverzfüggvény-tétel (lokális alak) – Ha az f valós-valós függvény erősen differenciálható az értelmezési tartománya egy u belső pontjában és ott a derivált nem nulla, akkor létezik u-nak olyan V nyílt környezete, hogy $f|_{V}\,$ leszűkített függvény

1. invertálható,
2. homeomorfizmus (inverzével együtt folytonos) és
3. $(f^{-1})'(f(u))=1/f'(u)\,$

Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $f'(u)\,$> 0 (ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Az erős differenciálhatóságból következik, hogy létezik u-nak olyan nyílt környezete, ahol bármely két, egymástól különböző $x_{1}$ és $x_{2}$ pontra ${\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}>0$, amiből minden $x_{2}$ > $x_{1}$ pár esetén az f($x_{2}$) – f($x_{1}$) > 0 következik, vagyis az f függvény a V-ben szigorúan monoton növekvő. Ezen kívül V tovább szűkíthető (szintén u körüli nyílt halmazra) olymódon, hogy teljesüljön az |f($x_{2}$)-f($x_{1}$)| ≦ ( |$f'(u)\,$| + 1 )$\cdot$| $x_{2}$ - $x_{1}$ | Lipschitz-tulajdonság. Ebből következik, hogy f a V-n folytonos, a szigorú monotonitással együtt pedig következik, hogy nyílt leképezés, azaz az inverz is folytonos (f a V-n tehát homeomorfizmus). Az inverz u-beli differenciálhatósága az inverz deriválási szabálya alapján következik.■

Megjegyezzük, hogy annak egy elégséges feltétele, hogy az u pontban f erősen differenciálható legyen az, hogy u a derivált értelmezési tartományának belső pontja legyen és ott f folytonosan differenciálható legyen. Ezért praktikusan a második tétel valójában az elsőbe megy át, hiszen jórészt a folytonos differenciálhatóság az, amit egy függvényről tudunk.

Többváltozós eset

Magasabb dimenziószám esetén a deriváltat a differenciál helyettesíti. Ekkor az általános tétel a következő.

Tétel – Lokális inverzfüggvény-tétel normált terekre – Legyen f az E Banach-térből az F normált térbe képező olyan függvény, mely az értelmezési tartománya egy u belső pontjában erősen differenciálható és ott df(u) differenciálja lineáris homeomorfizmus (az inverzével együtt folytonos leképezés). Ekkor létezik u-nak olyan, az értelmezési tartománybeli nyílt V környezete, ahol a függvény homeomorfizmus és inverze erősen differenciálható f(u)-ban.

Egy „kézzelfoghatóbb” megfogalmazás a következő.

Tétel – Inverzfüggvény-tétel Rⁿ-re – Ha az f függvény Rⁿ-ből Rⁿ-be képező folytonosan differenciálható függvény, az értelmezési tartományának egy u belső pontjában a J^f(u) Jacobi-mátrix determinánsa nem nulla, akkor van u-nak olyan V nyílt környezete az értelmezési tartományban, hogy f ezen a halmazon folytonosan differenciálható diffeomorfizmus és az inverz Jacobi-mátrixa minden x ∈ V-re:

$J^{f^{-1}}(f(x))=\left(J^{f}(x)\right)^{-1}$

Inverzfüggvény-tétel analitikus függvényekre

Kissé zavaró lehet, hogy a tétel csak az inverz létezését biztosítja, de magának az inverz függvénynek az explicit alakját nem feltétlenül tudhatjuk, legrosszabb esetben csak az f(u)-beli deriváltját. Természetesen az olyan példák esetén, mint a pozitív számok halmazán értelmezett

$x\mapsto x^{2}$,

világos, hogy az inverz függvény a pozitív számokon értelmezett

$x\mapsto {\sqrt {x}}$

Ha megelégszünk a függvények hatványsor előállításával, azaz ha az analitikus függvényekre szorítkozunk, akkor az inverznek megadhatjuk a konkrét hatványsor előállítását.

Tétel – Inverzfüggvény-tétel analitikus valós-valós függvényre – Ha az f valós-valós függvény analitikus az értelmezési tartománya egy u pontjában, és ott a deriváltja nem nulla, akkor u-nak létezik olyan U nyílt környezete az f értelmezési tartományában, hogy ott f invertálható, $f|_{U}$ analitikus diffeomorfizmus U és f(U) között és az inverz alakja minden y ∈ f(U)-ra:

$f^{-1}(y)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(f^{-1})^{(n)}(f(u))}{n!}}(y-f(u))^{n}$

Tehát csak az inverz f(u)-beli magasabbrendű deriváltjaira van szükségünk konkrét alakjának felírásához, melyet a deriválási képletek szerint könnyen kiszámíthatunk.

Példa

Az $x\mapsto {\text{tg}}x$ függvény analitikus és a (-π/2,π/2) minden pontjában teljesíti az inverzfüggvény-tétel feltételeit, tehát van analitikus inverze. Ennek deriváltja az ismert:

$g'(y)=\mathrm {arc} \,\mathrm {tg} '(y)={\frac {1}{1+y^{2}}}$

képlettel számolandó (magát ezt a formulát az inverzfüggvény deriválásáról szóló képlet alapján már ismerhetjük). Ekkor $g'(y)\,$ Taylor-sorba fejthető a 0 körül a geometriai sor segítségével és ez a (-1,1) intervallumban konvergens is lesz:

$g'(y)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}y^{2n}$

ahonnan a sorok integrálására vonatkozó képlet alapján

$g(y)=\mathrm {arc} \,\mathrm {tg} (y)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}y^{2n+1}$

amely a tangensfüggvény inverzének explicit alakja, bár kétségkívül nem zárt alakja. (Ennek ellenére sokszor ezt is elemi függvénynek tekintik.)

Lásd még

• Implicitfüggvény-tétel
• Inverz függvény (analízis)

Források

A PlanetMath Inverse function theorem szócikke