Inverzfüggvény-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az inverzfüggvény-tétel a matematikai analízisben egy differenciálható függvény inverzének létezésére ad (lokális vagy globális) feltételt. A differenciálható függvényeknek megvan az a szemléletes tulajdonsága, hogy a függvény görbéje belesimul az érintőbe. Ha ott az érintő meredeksége nem nulla, akkor a függvény egy kis szakaszon szigorúan monoton, így invertálható. Az inverzfüggvény-tétel erre az intuitív szituációnak a megvalósulására fogalmaz meg biztos matematikai feltételeket.

Egyváltozós eset[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szinte nyilvánvaló, bár sok fontos eszközt felvonultató a következő R-re vonatkozó tétel.

TételInverzfüggvény-tétel – Ha az f : I \rightarrow R nyílt intervallumon értelmezett, differenciálható függvény valamely uI pontban folytonos, nemnulla deriválttal rendelkezik, akkor u-nak létezik I-ben olyan V nyílt környezete, hogy \mbox{ }_{f|_V}\, leszűkített függvény

  1. invertálható,
  2. diffeomorfizmus (inverzével együtt differenciálható) és
  3. minden xV-re \mbox{ }_{(f^{-1})'(f(x))} = \mbox{ }_{1/f'(x)}\,.

Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy \mbox{ }_{f'(u)}\, > 0 (ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Ekkor \mbox{ }_{f'}\, u-beli folytonossága miatt létezik I-ben olyan u-t tartalmazó nyílt V környezet, hogy \mbox{ }_{f'|_V}\, minden értéke pozitív, amiből következik, hogy V-ben f szigorúan monoton nő. Eszerint itt f injektív. Mivel f differenciálható, pozitív deriválttú (és injektív), ezért az inverz is differenciálható, így f diffeomorfizmus és az inverz deriváltja a szokásos képlettel számítható.

Ha lecsupaszítjuk az előző, túl erős megszorításokat tartalmazó állítás feltételeit, akkor az erős differenciálhatóság fogalmához jutunk. Ezzel az inverzfüggvény-tétel egy páratlanul erős alakban mondható ki.

TételInverzfüggvény-tétel (lokális alak) – Ha az f valós-valós függvény erősen differenciálható az értelmezési tartománya egy u belső pontjában és ott a derivált nem nulla, akkor létezik u-nak olyan V nyílt környezete, hogy \mbox{ }_{f|_V}\, leszűkített függvény

  1. invertálható,
  2. homeomorfizmus (inverzével együtt folytonos) és
  3. \mbox{ }_{(f^{-1})'(f(u))=1/f'(u)}\,

Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy \mbox{ }_{f'(u)}\,> 0 (ellenkező esetben -f-re kell alkalmazni a gondolatmenetet). Az erős differenciálhatóságból következik, hogy létezik u-nak olyan nyílt környezete, ahol bármely két, egymástól különböző x_1 és x_2 pontra \mbox{ }_{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0}, amiből minden x_2 > x_1 pár esetén az f(x_2) – f(x_1) > 0 következik, vagyis az f függvény a V-ben szigorúan monoton növekvő. Ezen kívül V tovább szűkíthető (szintén u körüli nyílt halmazra) olymódon, hogy teljesüljön az |f(x_2)-f(x_1)| ≦ ( |\mbox{ }_{f'(u)}\,| + 1 )\cdot| x_2 - x_1 | Lipschitz-tulajdonság. Ebből következik, hogy f a V-n folytonos, a szigorú monotonitással együtt pedig következik, hogy nyílt leképezés, azaz az inverz is folytonos (f a V-n tehát homeomorfizmus). Az inverz u-beli differenciálhatósága az inverz deriválási szabálya alapján következik.

Megjegyezzük, hogy annak egy elégséges feltétele, hogy az u pontban f erősen differenciálható legyen az, hogy u a derivált értelmezési tartományának belső pontja legyen és ott f folytonosan differenciálható legyen. Ezért praktikusan a második tétel valójában az elsőbe megy át, hiszen jórészt a folytonos differenciálhatóság az, amit egy függvényről tudunk.

Többváltozós eset[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Magasabb dimenziószám esetén a deriváltat a differenciál helyettesíti. Ekkor az általános tétel a következő.

TételLokális inverzfüggvény-tétel normált terekre – Legyen f az E Banach-térből az F normált térbe képező olyan függvény, mely az értelmezési tartománya egy u belső pontjában erősen differenciálható és és ott df(u) differenciálja lineáris homeomorfizmus (az inverzével együtt folytonos leképezés). Ekkor létezik u-nak olyan, az értelmezési tartománybeli nyílt V környezete, ahol a függvény homeomorfizmus és inverze erősen differenciálható f(u)-ban.

Egy „kézzelfoghatóbb” megfogalmazás a következő.

TételInverzfüggvény-tétel Rn-re – Ha az f függvény Rn-ből Rn-be képező folytonosan differenciálható függvény, az értelmezési tartományának egy u belső pontjában a Jf(u) Jacobi-mátrix determinánsa nem nulla, akkor van u-nak olyan V nyílt környzete az értelmezési tartományban, hogy f ezen a halmazon folytonosan differenciálható diffeomorfizmus és az inverz Jacobi-mátrixa minden xV-re:

J^{f^{-1}}(f(x))=\left(J^{f}(x)\right)^{-1}

Inverzfüggvény-tétel analitikus függvényekre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kissé zavaró lehet, hogy a tétel csak az inverz létezését biztosítja, de magának az inverz függvénynek az explicit alakját nem feltétlenül tudhatjuk, legrosszabb esetben csak az f(u)-beli deriváltját. Természetesen az olyan példák esetén, mint a pozitív számok halmazán értelmezett

x \mapsto x^2,

világos, hogy az inverz függvény a pozitív számokon értelmezett

x \mapsto\mbox{ }_{\sqrt{x}}

Ha megelégszünk a függvények hatványsor előállításával, azaz ha az analitikus függvényekre szorítkozunk, akkor az inverznek megadhatjuk a konkrét hatványsor előállítását.

TételInverzfüggvény-tétel analitikus valós-valós függvényre – Ha az f valós-valós függvény analitikus az értelmezési tartománya egy u pontjában, és ott a deriváltja nem nulla, akkor u-nak létezik olyan U nyílt környezete az f értelmezési tartományában, hogy ott f invertálható, f|_U analitikus diffeomorfizmus U és f(U) között és az inverz alakja minden yf(U)-ra:

\mbox{ }_{f^{-1}(y)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(f^{-1})^{(n)}(f(u))}{n!}(y-f(u))^n}

Tehát csak az inverz f(u)-beli magasabbrendű deriváltjaira van szükségünk konkrét alakjának felírásához, melyet a deriválási képletek szerint könnyen kiszámíthatunk.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az x \mapsto tg x függvény analitikus és a (-π/2,π/2) minden pontjában teljesíti az inverzfüggvény-tétel feltételeit, tehát van analitikus inverze. Ennek deriváltja az ismert:

g'(y)=\mathrm{arc}\,\mathrm{tg}'(y)=\frac{1}{1+y^2}

képlettel számolandó (magát ezt a formulát az inverzfüggvény deriválásáról szóló képlet alapján már ismerhetjük). Ekkor \mbox{ }_{g'(y)\,} Taylor-sorba fejthető a 0 körül a geometriai sor segítségével és ez a (-1,1) intervallumban konvergens is lesz:

g'(y)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^ny^{2n}

ahonnan a sorok intergálására vonatkozó képlet alapján

g(y)=\mathrm{arc}\,\mathrm{tg}(y)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}y^{2n+1}

amely a tangensfüggvény inverzének explicit alakja, bár kétségkívül nem zárt alakja. (Ennek ellenére sokszor ezt is elemi függvénynek tekintik.)

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A PlanetMath Inverse function theorem szócikke