Kronecker delta függvény

A Kronecker delta (másként Kronecker-szimbólum) matematikai kétváltozós, általában egész számok függvénye, s amelynek értéke 1, ha a két szám egyenlő, minden más esetben 0. Így például $\delta_{12} = 0$, de $\delta_{33} = 1$. Jelölése δ_ij, és inkább jelölési rövidítésnek, mint függvénynek tekintik. A függvényt Leopold Kronecker (1823–1891) német matematikusról nevezték el.

$\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{ha } i=j \\ 0, & \mbox{ha } i \ne j \end{matrix}\right.$

Más jelölések

Az Iverson-féle zárójeles jelölés használatával:

$\delta_{ij} = [i=j ]\,$

Gyakran a $\delta_i$ jelölést használják:

$\delta_{i} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{ha } i=0 \\ 0, & \mbox{ha } i \ne 0 \end{matrix}\right.$

A lineáris algebrában, tenzornak tekintik és így írják: $\delta^i_j$.

Digitális jelfeldolgozás

Ugyanez a gondolat a digitális jelfeldolgozásban is megjelenik, és egy egész számokon értelmezett függvényként reprezentálják:

$\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$

Ezt a függvényt impulzusfüggénynek vagy egységimpulzusnak nevezik. Ha a jelfeldolgozás egy elemét éri, akkor az outputot az adott elem impulzusválaszának hívják.

Tulajdonságok

• $j\in\mathbb Z$:

$\sum_{i=-\infty}^\infty \delta_{ij} a_i=a_j.$

• Ha az egészeket mértéktérnek tekintjük, és ellátjuk a számlálómértékkel, ekkor ez a tulajdonság megegyezik a

Dirac-deltát definiáló tulajdonsággal:

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y),$

A Dirac-deltát a Kronecker-delta analógiájára nevezték el. A jelfeldolgozásban aszerint tesznek köztük különbséget, hogy az idő folytonos-e, vagy diszkrét. Megállapodás szerint $\delta(t)\,$ folytonos időt jelöl (Dirac), és az olyan argumentumok, mint i, j, k, l, m, és n a diszkrét idő számára vannak fenntartva (Kronecker). Egy másik elterjedt gyakorlat szerint a diszkrét sorozatokat szögletes zárójellel jelölik, így:  $\delta[n]\,$.

A Kronecker-delta a matematika több területén is felbukkan.

Lineáris algebra

A lineáris algebrában az identitásmátrix felírható $\delta_{ij}\,$ alakjában.

Ha a Kronecker-deltát tenzornak tekintjük, akkor így írható fel:

$\delta^i_j$

ahol i kovariáns, és j kontravariáns index.

Ez az (1,1) tenzor reprezentálja:

• az identitást, mint lineáris leképezést
• a nyomot
• a $V^* \otimes V \to K$ skaláris szorzatot
• a $K \to V^* \otimes V$ leképezést, ami a skaláris szorzatot a külső szorzatok összegeként reprezentálja.

A Kronecker-delta kiterjesztései

Több dimenzióban hasonlóan definiálhatunk egy többváltozós függvényt:

$\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} = \prod_{k=1}^n \delta_{i_k j_k}.$

Ez a függvény akkor és csak akkor veszi fel az 1 értéket, ha a felső indexek megegyeznek az alsókkal, különben nulla.

Reprezentáció integrálokkal

A komplex függvénytanból ismert reziduumok felhasználásával a Kronecker-delta minden $n$-re reprezentálható ezzel az integrállal:

$\delta_{x,n} = \frac1{2\pi i} \oint z^{x-n-1} dz,$

ahol az integrálási út pozitív forgásirányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) megkerüli a nullát.

Ez egy elforgatással a következő formában is írható:

$\delta_{x,n} = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(x-n)\phi} d\phi,$