Matematikai analízis

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az analízis vagy függvénytan a matematika egyik részterülete, amely a függvények vizsgálatával (analízisével) foglalkozik.

Fő területei például a numerikus, komplex és a valós analízis, ezen belül a differenciálszámítás, az integrálszámítás, a határértékek számítása, és a differenciálegyenletek elmélete; végtelen sorok, sorozatok; a metrikus terek elmélete és általában a topológia bizonyos ágai, az analitikus rendszerelmélet, a funkcionálanalízis.[1]

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mai matematikai analízis kezdetei a 17. századra datálhatóak a tudományos forradalom időszakára.[2] Ugyanakkor sok alapelv visszakövethető egészen korai matematikusokhoz. A korai felhasználásra és eredményekre példa a korai görög matematika. Például a végtelen mértani sorok már Zénó paradoxonában is feltünnek.[3] Később a görög matematikusok mint Eudoxos és Arkhimédész a kimerítéses eljárásaikban ezeket az eljárásokat konkrétan felhasználták, pl., hogy kiszámítsák testek felületét és térfogatát.[4] Ázsiában kínai matematikusok a kimerítési eljárást alkalmazták, hogy meghatározzák a kör területét. (K.r.e. 3. század)[5] Zu Chongzhi az 5. században olyan módszert alkalmaztott a gömb térfogatának meghatározásához amely később a Cavalieri elv néven vált ismertté.[6] Indiában, a 12. században Bhaskara példákat adott a derivált kiszámítására és kimondta a ma Rolle-tétel néven ismert állítást.[7]

A 14. században Madhava of Sangamagrama kifejlesztette a végtelen sorbafejtés technikáját a hatványsorokat, és a Taylor sorokat bizonyos függvényekre vonatkozóan alkalmazta mint pl.: szinusz, koszinusz, tangens, és arkusztangens.[8] Ezzel párhuzamosan azt is meghatározta, hogy mekkora a hiba nagyságrendje ha a sorbafejtést csak egy bizonyos pontig végezzük el. Később a követői továbbfejlesztették a munkáját egészen a 16. századig.

A mai modern analízis alapjait a 17. századi Európában rakták le.[2] Newton és Leibniz egymástól függetlenül kifejlesztették az infinitezimálisokra épülő analízist, ami később továbbfejlődött egészen a 18. századig, olyan ágakként mint variációanalízis, differenciálegyenletek, Fourier analízis.

A 18. században Euler bevezette a ma használatos függvény fogalmát.[9] Ezután a valós függvények analízise elkezdett különválni az analízis más részeitől. Ennek első lépése, hogy Bolzano megalkotta a ma is használatos folytonosság definícióját 1816-ban,[10] ugyanakkor Bolzano munkája nem terjedt el széles körben egészen az 1870-es évekig. 1821-ben Cauchy megkezdte az analízis szigorú formalizálását azzal, hogy első lépésként elutasította az úgynevezett algebra általánossága elvet, amelyet korábban elterjedten alkalmaztak, például Euler is, az analízisben. E helyett Cauchy formalizálta az analízist, geometriai elvekre és infinitezimálisokra építve. Így az ő folytonosság definíciója egy azt követelte meg, hogy x egy infinitezimális változásához, y-nak is infinitezimális változása tartozzék. Bevezette a Cauchy sorozatokat is, és elkezdte kidolgozni a formális definíciókra épülő komplex analízist. Poisson Liouville Fourier és mások pedig a parciális differenciálegyenleteket tanulmányozták. Ezen és más matematikusok mint Weierstrass együttműködése vezetett a határérték ma használt (ε, δ)-ás definíciójához, vagyis a mai modern analízis alapjához.

A 19. század közepén Riemann bevezette a saját integrál-elméletét. A század vége felé Weierstrass aki úgy gondolta, hogy a geometriai bizonyítások nem kielégítőek, vagy egyenesen félrevezetőek, bevezette a határérték (ε, δ)-ás definícióját. Ezután a figyelem középpontjába a valós számok teljessége került. Dedekind a valós számokat Dedekind vágással vezette be, amely definíciójából következően teljes. Ezzel egy időben megindult a valós Riemann integrálható függvények tulajdonságainak vizsgálata a szakadások tekintetében.

Az extrém és a szélső esetek is tárgyalásra kerültek mint pl.: olyan függvények amelyek mindenhol folytonosak, de sehol sem differenciálhatóak, sehol nem folytonos függvények, térkitöltő görbék stb. Ezzel kapcsolatban Jordan bevezette a saját mértékét, Cantor pedig kifejlesztette a naiv halmazelméletet. A 20. század elején az analízist a halmazelmélet segítségével formalizálták Lebesgue "rendet tett" a mértékek tekintetében míg Hilbert bevezette a Hilbert tereket, integrálegyenletek megoldásához. 1920-ban pedig Banach megalkotta a funkcionálanalízist.

Fontos fogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Metrikus tér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A metrikus tér olyan halmaz amelyen értelmezett egy távolságfüggvény (metrika), amely kielégít bizonyos kritériumokat.

Az analízis kifejlesztésének nagy része különféle metrikus terekben zajlott pl.: a valós számegyenesén, a komplex számsíkon, Euklidészi terekben, és más vektorterekben.

Matematikailag a metrikus tér egy rendezett pár (M,d) ahol M egy halmaz és d a halmazon értelmezett metrika, ami egy kétváltozós nemnegatív valós értékű függvény, vagyis:

d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}

úgy, hogy a következők teljesülnek bármely x, y, z \in M-re:

  1. d(x,y) \ge 0     (nemnegativitás),
  2. d(x,y) = 0\, akkor és csak akkor ha x = y\,    
  3. d(x,y) = d(y,x)\,     (szimmetria) és
  4. d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)     (háromszög egyenlőtlenség) .

Fő ágak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valós analízis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valós analízis a matematikai analízis azon ága amely valós függvények (valós értékű, valós argumentumú függvények) vizsgálatával foglalkozik.[11][12] Különösen ezen függvények analitikus tulajdonságait vizsgálja ideértve sorozatok konvergenciáját, határértékét folytonosságát, és egyéb tulajdonságokat.

Komplex analízis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komples analízis komplex függvények analízisével foglalkozik.[13]

Funkcionálanalízis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A funkcionálanalízis alapja a vektorterek megjelenésével jelent meg, pl.: belső szorzat, norma, topológia. és a lineáris operátorok.[14][15] A funkcionál analízis történetileg a függvényterek vizsgálatából alakult ki, ill. fontos szerepe volt a Fourier transzformáció viszgálatának is.

Differenciál egyenletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mérték elmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mérték egy függvény amely halmazokhoz rendel számokat úgy, hogy a szám összefüggésben áll valamilyen módon a halmaz "nagyságával".[16] Vagyis a mérték olyan fogalmak általánosításának feleltethető meg mint a hosszúság, terület, és térfogat. Egy különösen fontos példa a Lebesgue-mérték.

A hozzárendelt számnak nemnegatív valós számnak kell lennie vagy +∞-nek. Az üres halmaz mértéke kötelezően 0., és teljesülnie kell a σ-additivitásnak. Az úgynevezett nem mérhető halmazok létezése az Euklidészi térben ekvivalens az axiomatikus halmazelmélet(ZF) kiválasztási axiómájával.

Numerikus analízis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fizikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A klasszikus mechanika nagy része a relativitáselmélet, és a kvantummechanika is az analízisre épül, pontosabban a differenciálegyenletekre. Differenciálegyenlet például Newton második törvénye és a Schrödinger egyenlet.

A funkcionálanalízis szintén fontos eleme a kvantummechanikának.

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Mathematical analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Edwin Hewitt and Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965
  2. ^ a b Jahnke, Hans Niels. A History of Analysis. American Mathematical Society (2003). ISBN 978-0-8218-2623-2 
  3. Stillwell. Infinite Series, , 170. o (2004) „Infinite series were present in Greek mathematics, [...] There is no question that Zeno's paradox of the dichotomy (Section 4.1), for example, concerns the decomposition of the number 1 into the infinite series 12 + 122 + 123 + 124 + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 + 14 + 142 + 143 + ... = 43. Both these examples are special cases of the result we express as summation of a geometric series” 
  4. (Smith, 1958)
  5. (1966.) „A comparison of Archimdes' and Liu Hui's studies of circles130, 279. o, Kiadó: Springer.  , Chapter , p. 279
  6. Calculus: Early Transcendentals, 3, Jones & Bartlett Learning (2009). ISBN 0-7637-5995-3 , Extract of page 27
  7. Seal, Sir Brajendranath (1915), The positive sciences of the ancient Hindus, Longmans, Green and co.
  8. C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari (1978. június 1.). „On an untapped source of medieval Keralese Mathematics”. Archive for History of Exact Sciences 18, 89–102. o.  
  9. Dunham, William. Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, 17. o (1999) 
  10. *Cooke, Roger. Beyond the Calculus, The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience, 379. o (1997). ISBN 0-471-18082-3 „Real analysis began its growth as an independent subject with the introduction of the modern definition of continuity in 1816 by the Czech mathematician Bernard Bolzano (1781–1848)” 
  11. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis, 3rd, Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics, McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8 
  12. Abbott, Stephen. Understanding Analysis, Undergradutate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag (2001). ISBN 0-387-95060-5 
  13. Ahlfors.,Complex Analysis (McGraw-Hill)
  14. Rudin, W.: Functional Analysis, McGraw-Hill Science, 1991
  15. Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
  16. [[Terence Tao]], 2011. ''An Introduction to Measure Theory''.  American Mathematical Society.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]