Differenciálgeometria

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A differenciálgeometria a matematika azon ága, amely a differenciál- és integrálszámítás valamint a lineáris és multilineáris algebra felhasználásával kutat geometriai problémákat. A 18. és 19. században a sík- és térgörbék, valamint a háromdimenziós euklideszi térbe ágyazott felületek adták a differenciálgeometria kezdeti érdeklődésének tárgyát (klasszikus differenciálgeometria). A 19. század végére a differenciálgeometria, főként Poincaré révén, szoros kapcsolatba került az ekkoriban születő topológiával, s így már a differenciálható sokaságok geometriai struktúrájával foglalkozó területté nőtte ki magát. Szoros kapcsolatban van a differenciáltopológiával és a differenciálegyenletek elméletével. Napjainkban Grigorij Jakovlevics Perelman Poincaré-sejtésre adott bizonyítása helyezte ismét a figyelem középpontjába, mely egy száz éves topológiai problémára adott választ. A levezetés a Ricci-folyamok elméletét használja, megerősítve ezzel a differenciálgeometriai látásmód eredményességét a topológiai problémák kutatásában, és rávilágítva az analitikus módszerek fontos szerepére ezen területen. Sok módszert, melyet a differenciálgeometria elvontabb területei használnak, már a felületek vizsgálatakor megismerhetünk, és alkalmazhatunk.

A differenciálgeometria területei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Riemann-geometria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Riemann-geometria a Riemann-sokaságokat tanulmányozza, melyek olyan differenciálható sokaságok, ahol minden érintőtérhez egy Riemann-metrika van rendelve, amely egy távolságfogalmat indukál a sokaságon. A Riemann-geometria az euklideszi geometriát általánosítja görbült terekre, melyek azonban lokálisan első rendben hasonlítanak az euklideszi terekhez.

pszeudo-Riemann-geometria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A pszeudo-Riemann-geometria a Riemann-geometria általánosítása olyan terekre, ahol a metrikát általában nem egy pozitív definit alak adja. Speciális esete ennek az általános relativitáselméletből ismert Lorentz-sokaságok.

Szimplektikus geometria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]