Differenciálegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben az ismeretlen kifejezés egy differenciálható függvény, és az egyenlet a függvény és ennek deriváltja között teremt kapcsolatot. A problémák differenciálegyenletben való megfogalmazása a fizikában, mérnöki tudományokban, a közgazdaságtanban és még számos tudományban alapvető szerepet tölt be.

Egy rugóval rögzített test elmozdulását az időben (ha az energiaveszteségtől eltekintünk) egy \mbox{ }_{\ddot{x}(t)=-x(t)} típusú egyenlet írja le. Ennek megoldása például az \mbox{ }_{x=\sin(t)\,} és a \mbox{ }_{x=\cos(t)\,} függvény is.

Hogy mennyire fontosak az alkalmazásaikban a differenciálegyenletek, jól példázza Newton második törvénye. Ez nem mond ki mást, mint, hogy az elmozdulás idő szerinti második deriváltja egyenesen arányos az erővel. Ha az erő minden pillanatban csak a test helyzetétől függ, akkor ez a differenciálegyenlet így írható:

\ddot{x}(t)=mx(t)

ahol az ismeretlen függvény az x(t), ennek t szerinti második deriváltja az \mbox{ }_{\ddot{x}(t)}.

A differenciálegyenletek nem kizárólag akkor jutnak szerephez, ha az időben folyamatosan változnak az állapotjelzők értékei, hanem olyan diszkrét (elkülöníthető lépésekben lezajló) folyamatok esetében is (mint mondjuk egy sakkjátszma, vagy a természetben élőlénypopulációk növekedése), amikor a folyamat meghatározó állapotjellemzőinek folytonosként való kezelése tömegméretekben kielégítő helyességgel írja le a folyamatot. Egy mennyiség és megváltozásának kapcsolatára vagy megfigyelések utalnak, vagy feltételeznek egy elméleti relációt a jellemzők között. Például a növekedés általában függ magától a populáció nagyságától – ez egy közvetlenül a tapasztalatból származó modell. A bolygómozgás differenciálegyenletei viszont a newtoni mechanikából eredeztethetők.

Általában egy (közönséges) differenciálegyenlet megoldását az y=y(x) alakban írjuk fel (szóban: y az x függvénye). Az egyenletben az y(x) jelölés helyett inkább csak az y-t használjuk. Feltesszük azonban, hogy y egy valós intervallumon értelmezett, legalább annyiszor differenciálható függvény, ahányadik deriváltja szerepel az egyenletben. Például az

y'=\frac{1}{2y}\,

egy megoldása a (0,+∞)-en értelmezett (és ott differenciálható) \mbox{ }_{y(x)=\sqrt{x}\,} függvény, egy másik a (2,+∞)-n értelmezett \mbox{ }_{y(x)=\sqrt{x-2}\,} függvény.

Az egyenleteket kielégítő megoldásfüggvények csak a legegyszerűbb esetekben fejezhetők ki zárt alakban. Sok esetben szükségtelen is kiszámolni a konkrét megoldásokat, sokkal többet tudhatunk meg a folyamatokról, ha a megoldások kapcsolatait vizsgáljuk. Más esetben szükséges kiszámítani a megoldás konkrét értékeit. Mindkét feladatra számítógépes módszereket használnak, az első inkább kvalitatív, míg a második kvantitatív eredményt szolgáltat.

Differenciálegyenlet-típusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Közönséges differenciálegyenlet. Ebben az esetben az egyenlet egy egyváltozós differenciálható függvényre van felírva. Például:
y'(x)=\sin(xy(x))\quad\quad (y(x)=?)
x''(t)=-x(t)\quad\quad (x(t)=?)
az utóbbi a lineáris oszcillátor egyenlete (Pl. az ideális rugó, ideális rezgőkör stb.).
  • Parciális differenciálegyenlet. Ekkor az ismeretlen függvény többváltozós és az egyenletben szereplő deriváltjai parciális deriváltak. Például:
\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}+x\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}=x^7\cdot y^4\quad\quad (z(x,y)=?)
\partial_tS(t,x) +H(t,x,\partial_x S(t,x))+\frac{\sigma^2}{2}\partial_{xx}^2 S(t,x)=0\quad\quad (S(t,x)=?)
az utóbbi a sztochasztikus Hamilton–Jacobi–Bellman-egyenlet.
  • Algebro-differenciálegyenlet. A differenciálegyenlet mellett a megoldásnak az algebrai mellékfeltételeknek is eleget kell tennie.
  • Késleletett differenciálegyenlet. Itt az ismeretlen és deriváltja mellett azok időbeli eltoltjai is szerepelnek.

Példa a populációdinamikából:

\dot x=-\mu x(t)+\alpha p x(t-\tau) [1]
  • Integro-differenciálegyenletek. Deriválás mellett integrálok is szerepelnek.

Erre példa az impulzusra felírt Schrödinger-egyenlet

A különböző alkalmazási területeken további típusok is felmerülhetnek.

Közönséges differenciálegyenletek típusai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • n-edrendűnek nevezzük a differenciálegyenletet, ha a benne szereplő magasabbrendű deriváltak között az n-edik a legnagyobb. Például:
y'(x)=\mathrm{sh}(x)+y^2(x)\, elsőrendű,
y''(x)+y^3(x)y'(x)=\mathrm{tg}(x)\, másodrendű,
y^{(4)}+7y=0\, negyedrendű.
  • lineáris egy differenciálegyenlet, ha y (az ismeretlen függvény) és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek, és nem szerepel az egyenletben ilyen tényezők szorzata. Példa:
\sin(x)y'(x)+x^2y(x)+\sqrt{x}=0\, elsőrendű lineáris,
e^xy''(x)+(x^4-x)y'(x)-\frac{x+1}{x^3}y(x)+\cos(x)=0\, másodrendű lineáris.
  • nemlineáris, ha nem lineáris. Példa:
\mathrm{ctg}(x)y''(x)+x^2y(x)y'(x)=8\,,
y''(x)=e^{\cos(xy^2(x))y(x)}\,

Bernoulli-féle differenciálegyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Bernoulli-féle differenciálegyenlet

y'+ p(x)y = r(x)y^n\, (n ≠ 0,1) (1)

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, nemlineáris differenciálegyenlet.

Riccati-féle differenciálegyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Riccati-féle differenciálegyenlet

y'+p(x)y = r(x)y^2+h(x)\, (1)

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, legfeljebb másodfokú differenciálegyenlet. Speciális esetei a lineáris és a Bernoulli-féle differenciálegyenletek.

Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet egyismeretlenes, másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típus:

x^2y''+a_{1}xy'+a_{2}y = r(x)\, (1)

ahol a_{1}\, és a_{2}\, állandók.

Közönséges, lineáris differenciálegyenletek típusai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • homogén lineáris differenciálegyenlet (függő változóban homogén), ha lineáris, de nincs benne sem kizárólag az x-től függő sem konstans tag. Példa:
\sin(x)y'(x)-e^xy(x)=0\, elsőrendű homogén lineáris,
x^3y''(x)+\frac{1}{x}y(x)=0\, másodrendű homogén lineáris.
  • inhomogén lineáris differenciálegyenlet, ha van benne konstans, vagy x-től függő tag. Példa:
\sin(x)y'(x)-e^xy(x)=\mathrm{tg}(x)\, elsőrendű inhomogén lineáris,
x^3y''(x)+\frac{1}{x}y(x)=x^2+5\, másodrendű inhomogén lineáris.
  • állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, ha az y és összes deriváltja együtthatója konstans. Példa:
3y'-7y=0\, elsőrendű állandó együtthatós homogén lineáris,
9y''(x)+4y'(x)=5x^{12}\, másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris.

Differenciálegyenletek megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Differenciálegyenletet megoldani annyit tesz, mint meghatározni azokat a függvényeket, melyek a deriváltjaikkal együtt azonosan kielégítik az adott differenciálegyenletet. Ezeket a függvényeket tekintjük a differenciálegyenlet megoldásainak. Mivel a differenciálegyenletet általában integrálással oldjuk meg, a megoldást szokás a differenciálegyenlet integráljának is nevezni.

Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet általános megoldása az a függvény, mely pontosan n számú egymástól független állandót (paramétert) tartalmaz, és azonosan kielégíti az adott differenciálegyenletet.

Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet partikuláris megoldása az a függvény, mely legfeljebb n-1 számú egymástól független állandót (paramétert) tartalmaz, és azonosan kielégíti az adott differenciálegyenletet. Speciális esetben egyetlen paramétert sem tartalmaz a partikuláris megoldás. Általában (de nem mindig) az általános megoldás tartalmazza az összes partikuláris megoldást is, melyet úgy kaphatunk, hogy a paramétereknek konkrét értékeket adunk. A differenciálegyenlet partikuláris megoldásának kiválasztásához feltételeket kell megadni. Egy n-edrendű közönséges differenciálegyenlethez meg lehet adni a független változó egy adott értékéhez tartozó függvényértéket, az első, második, …, (n-1)-edik derivált értékét. Ezeket nevezzük kezdeti feltételnek. Amennyiben mind az n számú adatot megadjuk, a partikuláris megoldás nem fog paramétert tartalmazni.

Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását úgy is ki lehet választani, hogy legfeljebb n számú összetartozó (t, x(t)) értéket adunk meg, amit az x(t) partikuláris megoldásnak ki kell elégítenie. Ezeket nevezzük kerületi, illetve határfeltételeknek. Ha pontosan n számú kerületi feltételt adunk meg, a partikuláris megoldásban nem lesz paraméter.

Az elsőrendű F(x,y,y')=0 közönséges differenciálegyenlet \phi(x,y,c)=0 általános megoldása az x, y síkban egy egyparaméteres görbesereget határoz meg. Az itt megadható y_1=y(x) kezdeti feltétel geometriailag egy P_1(x_1;y_1) pont megadását jelenti, és így az egy kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás a görbeseregnek azt a görbéjét jeleni, amely áthalad az adott P_1 ponton.

A másodrendű F(x,y,y',y'')=0 közönséges differenciálegyenlet \phi(x,y,A,B)=0 általános megoldása az x, y síkban egy kétparaméteres görbesereget határoz meg. Ebben az esetben a kezdeti feltétel geometriai jelentése egy P_1(x_1;y_1) pont és azon pontban a partikuláris megoldás érintője.

Megoldási módszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A változók szeparálása – az y'=F(x,y) közönséges esetben akkor beszélünk a szeparábilis vagy szétválasztható változójú egyenletről, ha F előáll F(x,y)=f(x)g(y) szorzat alakban. Parciális differenciálegyenlet esetén a változók szeparálásán azt értjük, hogy a z=z(x,y) megoldásfüggvényt a z=f(x)g(y) alakban keressük – ekkor az egyenlet szeparábilis megoldásait kapjuk meg.
  • Egzakt differenciálegyenlet – akkor mondjuk az elsőrendű egyenletről, hogy egzakt, ha P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 alakú, és ∂P/(∂y)=∂Q/(∂x). Ekkor az implicit általános megoldás Φ(x,y)=konst., akkor és csak akkor, ha ∂Φ/(∂x)=P és ∂Φ/(∂y)=Q.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. O. Arino, M.L. Hbid, E. Ait Dads (Hrsg.): Delay Differential Equations and Applications. In: NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Springer-Verlag, Niederlande 2006.
  1. Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1975
  2. Obádovics J. Gyula: Matematika, Scolar Kiadó, 1994