Schrödinger-egyenlet

A kvantum-mechanikában egy fizikai rendszer ismerete ekvivalens annak teljes állapotterének ismeretével. Ez általában egy végtelen dimenziós lineáris tér, nevezetesen a Hilbert-tér, aminek minden eleme a rendszer állapotának megfeleltethető állapotvektor. Az állapotok időbeli fejlődése egy a Hilbert-téren ható, "idő paraméterű" operátorral jellemezhető. Amennyiben a rendszer időben eltolható, ez az operátor egy folytonos csoport eleme. Neve: Green-operátor. A csoport infinitezimális generátora, azaz az időfejlődés generátora a Hamilton operátor. A Schrödinger-egyenlet egy állapot egyenlet. Létezik időfüggetlen és időfüggő formája is. Az időfüggetlen formája egy energia-sajátérték egyenlet.

Az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet

A kvantummechanikában a fizikai mennyiségek matematikai leírására operátorokat használnak. Kvantumrendszerek mérésekor a mérési eredmény az ahhoz a megfigyelhető mennyiséghez hozzárendelt operátor valamelyik sajátértékével egyezik meg. A kvantummechanikában a fizikai, megfigyelhető mennyiségekhez lineáris, hermitikus operátorokat rendelnek.

Azon klasszikus mechanikai rendszerek esetében, melyek rendelkeznek Hamilton-függvénnyel, a Hamilton-függvény alakja Descartes-koordinátákban

$\ H = T + V,$

ahol T a rendszer kinetikus energiája és V a rendszer potenciális energiája. A Hamilton-függvény egy klasszikus, tiszta állapot, azaz a rendszer fázisterének pontjai a teljes energiáját adja meg.

A kvantummechanikában a kvantumrendszer energiáját a Schrödinger-féle energiasajátérték-egyenlet határozza meg. A sajátértékegyenletben szereplő operátor (Hamilton-operátor), a rendszer klasszikus fizikai analogonja (ha létezik ilyen) Hamilton-függvényének operátorosításával történik (Ez az úgynevezett kanonikus kvantálás):

$H=T+V\longrightarrow \hat{H}=\hat{T}+\hat{V},$

a sajátértékegyenlet pedig:

$\hat{H}| \psi \rangle=E| \psi \rangle,\quad | \psi \rangle \in \mathcal{H},\quad E\in\mathbb{R},$

ahol $| \psi \rangle\in\mathcal{H}$ a kvantumállapot, mely a $\mathcal{H}$, a rendszer modelljeként szolgáló Hilbert-tér eleme. Az energiasajátértékek megadják a rendszer mérése során előforduló lehetséges energiaértékeket.

A mondottakat általában az egyetlen tömegpont kvantummechanikai leírásával szemléltetik. Ha a tömegpont kényszer nélkül mozog $\mathbb{R}^3$-ban és létezik klasszikus mechanikai Hamilton-függvénye, akkor annak alakja:

$H(\mathbf{x},t)=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+V(\mathbf{x},t),$

ahol $m\in \mathbb{R}$ a tömegpont tömege, p a tömegpont impulzusa, V pedig a mozgást meghatározó potenciál. Koordinátareprezentációban a kvantummechanikára való áttérés úgy történik, hogy az impulzus komponenseihez és a potenciálhoz $L^2(\mathbf{R}^3)$-on ható operátorokat rendelnek:

$p_x\longrightarrow \hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial }{\partial x} \quad p_y\longrightarrow \hat{p}_y=-i\hbar\frac{\partial }{\partial y} \quad p_z\longrightarrow \hat{p}_z=-i\hbar\frac{\partial }{\partial z},$

valamint

$V\longrightarrow \hat{V}=V\hat{I},$

ahol $\hat{I}$ az identitásoperátor. Mind a potenciál, mind az impulzusoperátorok hermitikusak, így megfigyelhető mennyiségeket határoznak meg. Behelyettesítés után a Schrödinger-egyenlet a következő alakot ölti:

$\left( -\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta +V(x,y,z)\hat{I} \right)| \psi \rangle=E| \psi \rangle,$

ahol $\Delta$ a Laplace-operátor:

$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.$

Az időfüggő Schrödinger-egyenlet

Az időfüggő Schrödinger-egyenlet -ahogy nevében is benne van- a helykoordinátákon kívül időfüggő tagot is tartalmaz. Alakja a következő:

$\hat{H}\Psi=i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}$

Színes

„Itt láthatják a táblán a nevezetes Schrödinger-féle hullámegyenletet. Ezt az egyenletet Önök persze nem értik. Én sem értem. Schrödinger úr sem értette, de ez ne zavarja Önöket. Én ezt majd minden óra elején felírom a táblára, és elmagyarázom, mire lehet használni. Önök pedig majd lassan hozzászoknak.”

Marx György, egyetemi tanár egyik előadásának kezdete.

Lásd még

• Schrödinger macskája

További információk

• Web-Schrödinger Egy program a 2D-s időfüggő és stacionárius Schrödinger-egyenlet megoldásának kiszámítására (KFKI MFA)