Szeparábilis differenciálegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben szeparábilis (vagy szétválasztható változójú) differenciálegyenletnek olyan közönséges elsőrendű differenciálegyenletet nevezünk, mely előáll

y'=f(x)\!\cdot\! g(y)\,

alakban, ahol f és g két, intervallumon értelmezett függvény, y pedig – a keresett függvény – olyan differenciálható függvény, mely az f értelmezési tartományából a g értelmezési tartományába képez és y értelmezési tartományának minden x pontjára teljesül az \mbox{ }_{y'(x)=f(x)\cdot g(y(x))\,} egyenlőség.

A változói szeparálásával oldható meg sok parciális differenciálegyenlet is. Ekkor szeparábilis megoldásnak nevezzük az olyan megoldást, mely előáll

z(x1,x2,…,xn) = f1(x1)+ f2(x2)+ … +fn(xn) vagy
z(x1,x2,…,xn) = f1(x1)\cdotf2(x2)\cdot\cdotfn(xn)

alakban.

Formális megoldás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tegyük fel, hogy az

y'=f(x)\!\cdot\! g(y)\,

szeparábilis differenciálegyenlet esetén f és g folytonos és g sehol sem nulla. Ekkor a megoldás formális lépései a következők:

 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\, f(x)\!\cdot\! g(y)\,
\frac{\mathrm{d}y}{g(y)} =\, f(x) \,\mathrm{d}x\,
\textstyle\int\cfrac{1}{g(y)}\,\mathrm{d}y =\, \textstyle\int f(x)\,\mathrm{d}x\,
H(y)\, =\, F(x) + C\, implicit általános megoldás
y(x)\, =\, H^{-1}(F(x) + C )\, explicit általános megoldás

ahol C olyan tetszőleges konstans, mellyel a H-1\circ(F+C) függvénykompozíció nem elfajuló (vagyis az értelmezési tartományának van belső pontja).

Gyakran a H függvénynek (az 1/g primitív függvényének) olyan az alakja, hogy nem lehet felírni elemi függvények segítségével az inverzét. Ekkor vagy meghagyjuk implicit alakban a megoldást, vagy az inverzfüggvény-tételre hivatkozva lokális megoldásra utalunk.

Ha adott y0 = y(x0) kezdeti feltételt kielégítő megoldást keresünk, akkor a H(y0) = F(x0)+C egyenletből kell kifejeznünk C-t és megkapjuk az adott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást.

Egzisztencia-unicitás tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tétel – Ha f : I \rightarrow R és g : J \rightarrow R korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvények és g sehol sem nulla, továbbá y0 ∈ int J és x0 ∈ int I akkor az

y'=f(x)\!\cdot\! g(y)\,\quad\quad [y_0=y(x_0)]\,

kezdetiérték feladatnak van (nyílt intervallumon értelmezett differenciálható) megoldása és van olyan x0 körüli KI nyílt intervallum, ahol bármely két megoldás egyenlő.

Bizonyítás. (Egzisztencia) Az 1/g függvény J-n értelmezett folytonos függvény, így létezik integrálfüggvénye. Legyen az y0-ban eltűnő intergálfüggvénye H. 1/g nem nulla, így az intergálszámítás első alaptétele és a globális inverzfüggvény tétel értelmében H invertálható és inverze diffeomorfizmus. Az y0 pont belső pontja J-nek, így létezik olyan VJ nyílt környezete. H ezt az 0 ∈ U nyílt halmazba képezi és H(y0)=0 . De ha F az f függvény x0-ban eltűnő intergálfüggvénye, akkor F(x0) = 0 ∈ U, így F folytonossága miatt létezik x0-nak mint I egy belső pontjának olyan nyílt K környezete, hogy F(K) ⊆ U.

Ekkor az

y:K\rightarrow J;\;x\mapsto H^{-1}(F(x))

jól értelmezett, differenciálható függvény, mely – a kompozíció és az inverz függvény deriválására vonatkozó szabály értelmében – kielégíti a kezdetiérték feladatot.
(Unicitás) A formális megoldást végigkövetve látható, hogy az előbbi K intervallumon minden y megoldás a

H-1\circF

függvénnyel egyenlő.

Gyenge megoldások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt mondjuk, hogy az y ' = f(x)g(y) [y0 = y(x0)] kezdeti érték feladatnak y gyenge megoldása, ha y olyan intervallumon értelmezett folytonos függvény, mely megoldása a

y_0+\int\limits_{x_0}f\cdot (g\circ y)=y

integrálegyenletnek.

Állítás – Ha f : I \rightarrow R és g : J \rightarrow R integrálható függvények, rendre folytonosak x0 ∈ int I-ban és y0 ∈ int J-ben és ott nem nulla értékűek, akkor az y ' = f(x)g(y) [y0 = y(x0)] kezdeti érték feladatnak létezik gyenge megoldása.

Bizonyítás. Létezik olyan L zárt intervallum, hogy y0L ⊆ int I és ebben 1/g mindenütt értelmezett továbbá

H:=\int\limits_{y_0}\frac{1}{g|_L}

invertálható, sőt inverzével együtt Lipschitz-függvény. Ugyanez igaz egy x0 körüli zárt V környezetre, az

F:=\int\limits_{x_0}f|_V

függvény esetén. Ekkor

H^{-1}\circ F

megfelel az y kívánt tulajdonságainak.