Egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az egyenlet egyenlőségjellel összekapcsolt két kifejezés amely ismeretlen mennyiség(ek)et tartalmaz. A két kifejezést az egyenlet jobb és bal oldalának nevezzük. Az ismeretlenek száma szerint beszélünk egyismeretlenes, kétismeretlenes, ill. többismeretlenes egyenletről. Az egyenlet megoldásán az ismeretlen(ek) mindazon értékeinek meghatározását értjük, amelyeket behelyettesítve az egyenletbe, annak két oldala egyenlővé válik. Ezeket az értékeket az egyenlet gyökeinek vagy megoldásainak nevezik.^[1]

Tartalomjegyzék 1 Egyismeretlenes algebrai egyenletek 1.1 Algebrai egyenlet megoldása 1.2 Magasabb fokú egyismeretlenes algebrai egyenletek 1.3 Abszolútérték egyenlet 1.4 Irracionális egyenlet 2 Transzcedens egyenletek és megoldáduk 2.1 Trigonometrikus egyenlet 2.2 Exponenciális egyenlet 2.3 Logaritmus egyenlet 2.3.1 Pár fontosabb logaritmus azonosság. 2.3.2 Megjegyzés 3 Összefoglaló 3.1 Egyenletek osztályozása és az egyenlet általános definíciója 4 Lásd még 5 Források

[szerkesztés] Egyismeretlenes algebrai egyenletek

Az egyenleteket gyakran használják két olyan kifejezés egyenlőségének kifejezésére, melyek egy vagy több változót (ismeretlent) tartalmaznak. Például x minden értékére igaz a következő:

Ez egy úgynevezett azonosság: az egyenlet mindig igaz, attól függetlenül, hogy milyen értéket vesznek fel a változók.

Azok az egyenletek, amelyek nem azonosságok, azokat analitikai vagy feltételes egyenletnek nevezzük. Például:

A fenti egyenlet csak abban az esetben teljesül ha az x értéke 4 (x = 4), minden más értékre hamis. Tehát, ha az egyenlet igaz, akkor információval szolgál x értékére vonatkozóan. Azokat az értékeket, amelyekre igaz az egyenlőség, az egyenlet megoldásainak vagy más néven gyökeinek nevezzük (nem összetévesztendő a négyzetgyökkel).

Az egyenletekben a kialakult hagyomány szerint az ábécé elejének betűi (a, b, c, …) konstansokat (ismert értékeket), az ábécé végének betűi (x, y, z) változókat (ismeretleneket) jelölnek.

Több, egyszerre megoldandó egyenletet egyenletrendszernek nevezünk, ekkor az egyenletrendszer megoldáshalmaza az egyes egyenletek megoldáshalmazainak metszete.

[szerkesztés] Algebrai egyenlet megoldása

Egyenlet megoldása azt az eljárást jelenti, amelynek során meghatározzuk a feltételes egyenlet összes gyökét. Bonyolultabb egyenletek esetén ez diszkusszióval kezdődik. A diszkusszió azt jelenti, hogy meghatározzuk az ismeretlen azon értékeit, amelynél valamely kifejezés értelmetlen.

Ennél az egyenletnél például ki kell zárni az esetet, hiszen akkor az osztást nem lehet elvégezni.

Itt pedig a diszkusszió az megállapítását jelenti, hiszen a négyzetgyökvonás (valós számok körében) csak nullánál nagyobb számok körében végezhető el.

A diszkusszió után kezdődik a valódi egyenletmegoldás. A legtöbbször ez olyan átalakítások sorozatát jelenti, amelynek a végén az egyik oldalon az ismeretlen áll, a másik oldalon pedig egy ismert érték. Kétféle átalakítás lehetséges: vagy az egyenlet egyik oldalát alakítjuk úgy, hogy annak értéke ne változzon, vagy az egyenlet mindkét oldalára alkalmazzuk ugyanazt a műveletet, és mivel az egyenlet két oldala megegyezik, a művelet után is meg kell egyezniük. Ezt akkor nevezzünk ekvivalens átalakításnak, ha az eredeti és az átalakított egyenletnek ugyanazok a gyökei. Ilyen átalakítások a következők:

• Bármely kifejezés hozzáadása, kivonása
• Bármely nullától különböző kifejezéssel való szorzás
• Bármely nullától különböző kifejezéssel való osztás
• Bármely invertálható (kölcsönösen egyértelmű) matematikai függvény alkalmazása (például: páratlan kitevőjű hatványra emelés; logaritmus; reciprok, ha az egyenlet egyik oldala sem nulla stb.)

Nullával azért nem szorozhatunk, mert akkor függetlenül az eredeti egyenlettől, a egyenletet kapjuk, amely azonosság, tehát az ismeretlenek minden értékére igaz (ami az eredetiről nem feltétlenül mondható el). Olyan függvényeket is alkalmazhatunk az egyenletre, amelyek nem kölcsönösen egyértelműek (például a négyzetre emelés), de ekkor ki kell szűrni diszkusszióval vagy ellenőrzéssel a hamis gyököket (olyan gyökök, amelyek az eredeti egyenletnek nem megoldásai, csak az átalakítotténak).

[szerkesztés] Magasabb fokú egyismeretlenes algebrai egyenletek

Magasabb fokunak nevezünk egy egyenletet, ha abban legalább egy ismeretlen 1-től nagyobb pozitív n hatványon szerepel. Ha {n ∈ N \{0;1} | n < 4} (vagyis az n fokszám a természetes számok halmazának eleme kivéve a(z) 0 és 1, de nem nagyobb mint 4), akkor másod-, harmad- és negyedfokú egyenletekről beszélünk. Az ilyen egyenleteket, ha kizárólag az elsőfokú egyenletek megoldásmódszereit alkalmaznánk, nem lehetne megoldani, általában az úgynevezett megoldóképletet kell alkalmazni hozzájuk (az egyszerűbbek enélkül is megoldhatóak, de nem mindegyikük). Ötödfokú vagy annál nagyobb fokú egyenletre nem írható föl algebrai megoldóképlet. Ezeket általában közelítő módszerek segítségével lehet kezelni. Példa egy másodfokú egyenletre:

[szerkesztés] Abszolútérték egyenlet

Olyan egyenleteket nevezünk abszolútértékes egyenletnek, melyekben az egyenlet ismeretlen tagja abszolútérték jelen belül áll.

[szerkesztés] Irracionális egyenlet

Irracionálisnak nevezük azokat az egyenleteket az algebrai egyenletek törzsében, ahol az egyenlet ismeretlenjei gyökjel alatt szerepelnek. Amennyiben az egyenlet valahány ismeretlenje páros kitevőjű gyökjel alatt áll és a gyök alatt álló ismeretlenek nem a komplex számok halmazán vannak értelmezve, akkor a logaritmus egyenlethez hasonlóan itt is mindig alapfeltétel megadásával indul a feladat a páros kitevőjű gyök definíciója miatt:

ha x ∈ R és:

ⁿ√ax + b) ,(ahol n ∈ Z⁺páros) akkor:

F = ax + b ≥ 0, azaz:

x ≥ -b/a

A feltétel definiálását követően arra törekszünk, hogy a gyökjel alól kivigyük az ismeretleneket vagy eltüntessük a gyökjeleket. Általában a hatványozás módszerét szoktuk alkalmazni minden irracionális egyenlet esetében (ahol a; b; c ∈ R és x ∈ R):

;

.

[szerkesztés] Transzcedens egyenletek és megoldáduk

Transzcedens egyenleteknek nevezzük azokat az egyenleteket, melyeknek gyökeit nem hagyományos algebrai módszerek alkalmazásával kapunk meg, tehát sarkítva a fogalmat: transzcedensnek nevezünk minden olyan egyenletet ami nem algebrai- (és nem differenciál egyenlet). Lentebb érinteni fogunk bevezető jelleggel a transzcedens egyenleteket típusok alapján.

[szerkesztés] Trigonometrikus egyenlet

Trigonometrikus egyenletek megoldása során az addíciós tételeket alkalmazva az ekvivalens átalakításokat követően az ismeretlenekre nézve meghatározzuk az egyenlet gyökeit. Az egyenletek egyszerűsítését többféle módon elvégezhetjük annak függvényében, hogy melyik vezet minket a legegyszerűbb eljárások alkalmazásával a legpontosabb eredményhez.

Miután egy ismeretlen szögfüggvényére kaptunk egy "a" értéket, meg kell vizsgálnunk (előjeles és numerikus szempontból egyaránt), hogy az ismeretlen ezen "a" értéke az adott szögfüggvény mellett melyik síknegyedben veheti fel a keresett szöget (ahol fontos a szög után a periódust is feltüntetni).

(Trigonometrikus egyenletekről többet a "Trigonometrikus egyenlet" címszóra kattintva olvashatsz.)

[szerkesztés] Exponenciális egyenlet

Transzcendens egyenlettípus. Exponenciális egyenleteknek nevezzük mindazon egyenleteket, ahol az egyenlet tagjainak hatványkitevőiben ismeretlen tag szerepel. Itt gyakorlatilag a 9. és 10. osztályban elsajátított hatványozás azonosságait kell módszeres felhasználással alkalmazni. Többféle megoldásmód lehetséges annak függvényében, hogy melyiket egyszerűbb vagy célszerűbb használni (2 példa az exponenciális egyenlet effektív definiálására):

   * 1) Egyik megoldási módszer az, amikor az egyenletben szereplő hatványalapokat közös hatványalapra hozzuk (ügyelve a hatványozás azonosságainak figyelmes alkalmazására). Ha ezzel készen vagyunk, akkor az exponenciális egyenlet függvényként értelmezhető szigorú monotonitása (kölcsönös egyértelműsége) miatt az egyenlet új, önálló tagjai a hatványalapokhoz tartozó hatványkitevők lesznek.

(2/5)^x + 5/2 = (8/125)^x

(2/5)^x + (2/5)^-1 = (2/5)^3x

[az exp. függvény szigorú monotonitása miatt, (vagy kölcsönös egyértelműsége miatt):]

x – 1 = 3x

.

[szerkesztés] Logaritmus egyenlet

A logaritmus és az exponenciális kifejezések definíciójuk szerint szoros kapcsolatban állnak egymással. Ezt a kijelentést megalapozza a logaritmus alapdefiníciója, mely a logaritmus fogalmát magyarázza meg:

[szerkesztés] Pár fontosabb logaritmus azonosság.

Log_ab = c (miszerint) a^c = b.

Vegyünk egy példát:

Log₃9 = c

[ahol c ∈ R.]

3^c = 9

3^c = 3²

[az exp. egyenlet szigorú monotonitása miatt:]

c = 2.

   * 1) A logaritmus egyik legfontosabb azonossága az összeadások alapján:

Log_ab + Log_ac = Log_abc

[ahol a ∈ R⁺\{1} (:vagyis a > 0 a valós számok halmazán, kivéve az 1 egyelemű halaz); és ahol b > 0; valamint c > 0).]

   * 2) Másik fontos azonosság logaritmikus szorzásoknál:

Log_a Log_b Log_c n = e

[ahol a;b;c ∈ R⁺\{1}; és ahol n > 0.]

Log_b Log_c n = a^e

Log_cn = (ba)^e

   * 3) Harmadik fontos azonosság a kitevőből való kivitelre a logaritmusjel elé:

Log_ab^k = k·log_ab

[ahol a ∈ R⁺\{1}; és ahol b > 0; továbbá k ∈ R.]

   * 4) Negyedik logaritmus azonosság a sok közül, ahol az eltérő alapú logaritmus kifejezéseket azonos alapra hozzuk:

Log_bx = (log_ax) : (log_ab).

[ahol a; b ∈ R⁺\{1}; és ahol x > 0.]

[szerkesztés] Megjegyzés

A logaritmus egyenleteknél elengedhetetlen fontosságú, hogy a feladat elején vagy végén kikötést tegyünk az értékkészlet védelmében, nehogy véletlenül hamis gyökök felszabadulását eredményezze hanyagságunk. Lényegében elég, ha a minden azonossághoz leírtakhoz hasonlóan ön is feltünteti ezeket az alapfeltételeket az ismeretlenekre nézve.

[szerkesztés] Összefoglaló

[szerkesztés] Egyenletek osztályozása és az egyenlet általános definíciója

Az algebrai egyenletek az algebra törzsének szerves és egyben legnagyobb részét képviselik. Legtöbbször mindig előfordulnak benne konstans és ismeretlen kifejezések vegyesen, ahol törekszünk az egyenlet jobb és bal oldalát külön-külön homogén formára hozni az ismeretlen(ek) kifejezésének céljából, de előfordul, hogy az egyenlet gyökeinek meghatározásához zérusra történő redukálásra van szükség. Az egyenletek csoportosítása és osztályozása többféle módon történhet pár példa alapján:

A) Fokális csoportosítás:

• elsőfokú (lineáris) egyenletek;
• másodfokú (kvadratikus) egyenletek;
• harmadfokú egyenletek;
• magasabb fokú egyenletek.

B) Jelleg szerű csoportosítás:

1) Algebrai egyenletek:

• racionális egyenletek;
• irracionális egyenletek.

2) Transzcendens egyenletek

• trigonometrikus egyenletek;
• exponenciális egyenletek;
• logaritmus egyenletek.

C) Az ismeretlenek száma és jellege alapján történő csop.:

• egyismeretlenes egyenletek;
• kettő vagy többismeretlenes egyentelek;
• homogén / inhomogén egyenletek.

D) Differenciálegyenletek:

1) Osztályozás alapján megkülönböztetett diff.egy.-ek:

• elsőrendű de;
• másodrendű de;
• magasabb rendűről alacsonyabbra visszavezethető de.

2) A változók alapján való rendszerezés:

• szétválasztható változójú de;
• nem szétválasztható de.

3) Nevezetes differenciálegyenlet típusok:

• Bernoulli-féle de;
• Egzakt-féle de;
• Lagrange- és Clairaut-féle de;
• Riccati-féle de.

[szerkesztés] Lásd még

• Lineáris egyenlet
• Másodfokú egyenlet
• Harmadfokú egyenlet
• Negyedfokú egyenlet
• Trigonometrikus egyenlet
• Differenciál egyenlet

[szerkesztés] Források

• Erettsegi.com
• További egyismeretlenes algebrai és transzcedens egyenletek