Riccati-féle differenciálegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az

y'+p(x)y = r(x)y^2+h(x)\, (1)

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, legfeljebb másodfokú differenciálegyenletet Riccati-féle differenciálegyenletnek nevezzük.

Ha r(x)\equiv0\, , akkor lineáris, ha h(x)\equiv0\, , akkor Bernoulli-féle differenciálegyenletet kapunk.

Az általános Riccati-féle differenciálegyenlet általában integrálással nem oldható meg,

de ha ismeretes az (1) egyenlet egyetlen

y = y_{1}(x)\,

partikuláris megoldása,

akkor az

y = z(x)+y_{1}(x)\,

új ismeretlen függvény bevezetésével már az általános megoldás is előállítható.

Mi csak ezzel az esettel foglalkozunk.

Legyen az (1) egyenlet egy partikuláris megoldása

y = y_{1}(x)\, ,

akkor fennáll az

y_{1}'+p(x)y_{1} = r(x)y_{1}^2+h(x)\, (2)

azonosság. Vonjuk ki (1)-ből (2) megfelelő oldalát:

y'-y_{1}'+p(x)(y-y_{1}) = r(x)(y^2-y_{1}^2)\, ,

és vezessük be az

y = z(x)+y_{1}(x)\,

új ismeretlen függvényt, akkor a

z'+p(x)z = r(x)z(z+2y_{1})\,

alak áll elő. Rendezve

z'+(p(x)-2r(x)y_{1})z = r(x)z^2\, (3)

egyenletre jutunk, amely az új z(x) függvényre Bernoulli-féle differenciálegyenlet. Ennek megoldását az előző pontban ismertetett módon kapjuk, az

\frac{1}z = u(x)\,

új ismeretlen függvény bevezetésével ui. lineáris inhomogén differenciálegyenletet kapunk, amely integrálással megoldható.