Naiv halmazelmélet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A halmazelmélet alapjait Georg Cantor rakta le egy 1874-ben megjelent cikkében, melyben a valós számok nem megszámlálhatóan végtelen voltát bizonyította be elsőként. Cantor gondolata az volt, hogy ne csak számok, pontok, egyenesek összességeit tekintsük, hanem ezek összességeinek összességeit, … is. Ekkor összességek végtelen hierarchiáját alkotjuk meg gondolatban, ami érdekes matematikai és filozófiai problémákat vet fel. Az 1874-es cikk eredménye azért megdöbbentő, mert kiderül: ugyan természetes számból és valós számból is végtelen sok van, de mégis valamilyen szempontból a valós számok összessége „magasabbrendűen” (nem megszámlálható módon) végtelen, mint ahogy a természetes számok összessége végtelen, sőt, ahogy számból, úgy végtelenből is végtelen sok van. Cantor ezzel megteremtette a végtelen számosságok elméletét. Az összességre a Menge német szót használta, később más elnevezések is napvilágot láttak; a magyar nyelvben a halmaz szót használják matematikai szakkifejezésként. Eredményeit Dedekind, Frege és Russell is felhasználta. Szerencsétlenségükre Russell munkája során felfedezett egy ellentmondást, mely Cantor alapgondolatából következik (ez a Russell-paradoxon) és azt levélben meg is küldte Fregenek, aki ezt az érvelést az éppen nyomdába készülő könyvének utószavába be is illesztette. Ezzel 1903-ban napvilágot látott Cantor halmazelméletének ellentmondásossága. Azóta nevezik Cantor elméletét naiv (azaz kezdetleges) halmazelméletnek. (Valójában Cantor (ahogy rajta kívül sokan mások is) is felfedezett egy ellentmondást, ezt Cantor-paradoxon néven emlegetik.) A halmazelméletet sikerült az axiomatikus módszer segítségével megmenteni és az ismert ellentmondásaitól megszabadítani. A korban a feladatot Russell (a típuselméletben), Zermelo és Fraenkel (a Zermelo-Fraenkel halmazelméletben) és az intuicionisták a fajták elméletében oldották meg. Később más axiomatikus halmazelméletek is születtek (például a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet és a Bourbaki-halmazelmélet).

A naiv halmazelmélet kiindulópontja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A naiv halmazelmélet hallgatólagos alapfeltevése volt, hogy ha {T} valamilyen tulajdonság, akkor gondolhatunk mindazon dolgok összességére, melyekre a {T} tulajdonság teljesül. Ezt az összességet a {T} tulajdonság igazságtartományának nevezzük.

Jelölés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Magát a {T} tulajdonságot gyakran funkcionális jelölésmódban úgy jelöljük, hogy {T(x)}. Itt az {x} karaktert változónak nevezzük és azt jelképezi, hogy a {T(x)} kifejezés nyitott mondat, igazságértéke még nem értelmezhető. Zárt kijelentő mondat – azaz olyan, melynek létezik igaz vagy hamis értéke – csak akkor lesz belőle, ha az {x} változó helyére valamilyen dolog nevét helyettesítjük.

A {T(x)} tulajdonság igazságtartományát

\{x\mid T(x)\}

-szel jelöljük és úgy mondjuk ki, hogy „azon {x}-ek összessége, melyre a {T(x)} tulajdonság igaz”.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen {T} : „kutya” . Funkcionális jelölésmódban {T(x) :}{x} kutya”. Ekkor „{x} kutya” még nyitott mondat, zártat úgy képezhetünk belőle, ha az {x} változó helyére például {Buksi}, a kutya vagy {Cirmi}, a macska nevét helyettesítjük. Ekkor {T(Buksi)} egy, a valóságnak megfelelő állapotot leíró, tehát igaz mondat, míg {T(Cirmi)} nem felel meg a valóságnak, így hamis. Végeredményben képezhetjük a kutyák összességét:

\{x\mid T(x)\}=\{x\mid x \mbox{ kutya}\}

Ki nem mondott feltételezések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Eddigi fejtegetésünk a logikai grammatika témakörébe tartozik és legfeljebb az „igaznak lenni” minősítés homályos értelmezése felől támadható. Ma már tudjuk, hogy Cantor a fentieken felül kimondatlanul feltételezte a következőket:

  1. A komprehenzivitás elve: akármilyen {T(x)} tulajdonság esetén, az {x} változó helyére minden dolog nevét írhatjuk, és összegyűjthetjük az { x | T(x) } szimbólum alá az összes olyan dolgot mely teljesíti a {T(x)} tulajdonságot.
  2. Az extenzionalitás elve: Két összesség akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik megyegyeznek.

Cantor a Menge, azaz halmaz szót használta a { x | T(x) } összesség megnevezésére. Ha valamely {a} dolog benne van a { x | T(x) } halmazban, akkor ezt szimbolikusan így jelöljük: a ∈ { x | T(x) }.

Az ellentmondás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Russell-paradoxon feloldását mások máshogy képzelték. Gottlob Frege abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. Russell maga szükségesnek tartotta szigorúan megkülönböztetni a dologkat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg a hazug paradoxona mögött, a Gödel-féle nemteljességi tételekben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására. Mivel az \mbox{ }_{x\notin x} kijelentésben összességek is szerepelhetnek és az összességeket egyértelműen meghatározza a definiáló tulajdonságuk, így a \mbox{ }_{x\notin x} kijelentésből könnyen csinálhatunk saját magára hivatkozó mondatot:

{R=\{x\mid x\notin x\}}\,\! azaz
{x\in R \Leftrightarrow x\notin x}\,\!, így {x}-ben saját magát {R}-et szerepeltetve:
{R\in R \Leftrightarrow R\notin R}\,\!

Ez utóbbi módszert, amikor egy tulajdonság változójának helyébe magát a tulajdonságot (pontosabban annak megnevezését) helyettesítjük, Cantor-féle átlós eljárásnak nevezzük. A sors fintora, hogy Cantor halmazelméletén pont a saját maga által először alkalmazott eljárás segítségével tudott Russell rést ütni.

Felhasznált irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ruzsa Imre – Máté András, Bevezetés a modern logikába, Osiris Kiadó, 1997.
  • Gottlob Frege, Az aritmetika alaptörvényei II., Utószó (1903), in: Gottlob Frege, Logikai vizsgálódások – Válogatott tanulmányok, szerk.: Máté András, Osiris Kiadó, 2000.