Elemi algebra

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az algebra egyik alapvető ága az elemi algebra. Ez az algebra történetileg legkorábban kialakult ága, fő feladata a valós együtthatós algebrai egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek megoldása (az algebra további ágai a lineáris algebra és absztrakt algebra) [forrás?].

Az elemi algebra megértésének előfeltétele a számtani alapműveletek ismerete. A számtanban konkrét számok szerepelnek, az elemi algebrában viszont már számokat reprezentáló szimbólumok, ún. változók is megjelennek.

Számolási szabályok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Összeadás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az összeadás kommutatív művelet:

a + b = b + a

Az összeadás asszociatív művelet:

(a + b) + c = a + (b + c)

A kivonás az összeadás ellentéte. Egy negatív szám hozzáadása ekvivalens az ellentettjének kivonásával:

a + (-b) = a - b

Szorzás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzás is kommutatív művelet:

ab = ba

A szorzás asszociatív művelet:

(ab)c = a(bc)

Az osztás a szorzás ellentéte. Egy számmal való osztás megfelel a szám reciprokával való szorzásnak:

{a \over b} = a \left( {1 \over b} \right)

Hatványozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azonos alapú hatványok szorzatában a kitevők összeadódnak:

 a^b a^c = a^{b+c}

Hatványozott hatványok esetében a kitevők összeszorzódnak:

 (a^b)^c = a^{bc}

Disztributivitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzás az összeadásra nézve disztributív:

a(b + c) = ab + ac

A hatványozás a szorzásra nézve szintén disztributív:

(a b)^c = a^c b^c

Nevezetes szorzatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az elemi algebra eszköztárához tartoznak egyes könnyen belátható azonosságok, melyeket nevezetes szorzatoknak is hívunk:

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
(a+b)(a+b) = a^2 + b^2 + 2ab
(a-b)(a-b) = a^2 + b^2 - 2ab

Néha ide sorolják az alábbi azonosságokat is:

(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3
(a+b)(a+b)(a+b) = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a-b)(a-b)(a-b) = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Egyenletek megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyismeretlenes lineáris egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lehető legegyszerűbb feladat az a lineáris egyenlet, amelynek csak egy ismeretlenje van. Például:

2x + 4 = 12. \,

A megoldás technikája az, hogy az egyenlet mindkét oldalával ugyanazt a műveletet végezzük, így az egyenlőség mindig fennmarad. Esetünkben levonunk mindkét oldalból 4-et:

2x + 4 - 4 = 12 - 4 \,

azaz

2x = 8. \,

Most osztjuk mindkét oldalt 2-vel

\frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \,

így adódik a megoldás

x = 4. \,

Általános esetben:

ax+b=c \qquad (a \neq 0)

Mindkét oldalból b-t kivonva, majd osztva a-val adódik a megoldás:

x=\frac{c-b}{a}

Egyismeretlenes másodfokú egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A másodfokú egyenlet általános alakja a következő:

ax^2+bx+c=0 \qquad (a \neq 0)

Megszorozva mindkét oldalt 4a-val adódik:

4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0

Hozzáadva mindkét oldalhoz b^2-et, majd levonva 4ac-t:

4a^2x^2 + b^2 + 4axb = b^2 - 4ac

A bal oldalon egy nevezetes szorzat tartózkodik. Ezt kihasználva:

(2ax+b)^2 = b^2 -4ac

Mindkét oldalból gyököt vonunk:

2ax+b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}

Vonjunk ki mindkét oldalból b-t, s osszunk 2a-val, így adódik a két lehetséges megoldás x-re:

x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

A b^2 - 4ac értéket szokás az egyenlet diszkriminánsának is nevezni. Észrevehető, hogy ha a diszkrimináns nulla, akkor az egyenlet két megoldása egybeesik. Ha a diszkrimináns negatív, akkor az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.

Többismeretlenes lineáris egyenletrendszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A többismeretlenes lineáris egyenletrendszerek tárgyalása általános esetben a lineáris algebra témakörébe tartozik. Ebben a szócikkben csak elemi példákat mutatunk a három lehetséges esetre:

Egy megoldással rendelkező[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Pontosan egy megoldása van az alábbi lineáris egyenletrendszernek:

x + y = 1
x - y = 1

A két egyenletet összeadva adódik, hogy

2x = 2

azaz

x = 1

Behelyettesítve az első egyenletbe:

1 + y = 1

A megoldás tehát (x, y) = (1, 0).

Több megoldással rendelkező[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Több lehetséges megoldása is van az alábbi egyenletrendszernek:

3x - 6 = 0
z + y = 0

Tetszőleges (x, y, z) = (2, y, - y) hármas megoldása a feladatnak bármely y értékre.

Megoldhatatlan[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az alábbi lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása:

3x + 4 = y
3x + 5 = y

Mivel y-ra ellentmondó feltételek adottak, ezért ez egy paradoxon.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Elementary algebra című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.