Komplex analízis

A komplex analízis vagy komplex függvénytan a matematika azon ága, amely a komplex változós komplex értékű függvényekkel foglalkozik. Alkalmazzák kétdimenziós fizikai problémák modellezésében és a számelméletben is.

A komplex analízisben központi szerep jut a függvények differenciálhatóságának, s konkrétan a holomorf illetve a meromorf függvények vizsgálatának.

Komplex függvény

Komplex függvény alatt olyan függvényeket értünk, melyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a komplex sík részhalmaza.

Differenciálhatóság

A derivált

Valamely $f \in \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ függvény deriváltja a z helyen a valós esethez hasonlóan értelmezhető. Ha az alábbi határérték létezik, akkor f a z helyen differenciálható, s a határértéket az f függvény z pontban vett deriváltjának nevezzük:

$f'(z) = \lim_{h \to 0}\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\,$

Ha egy f függvény valamely Ω halmaz minden pontján differenciálható, akkor definiálható a derivált függvény is:

$f':\Omega \to \mathbb{C}$

A Cauchy–Riemann egyenletek

A komplex függvények differenciálhatóságra adnak ekvivalens feltételt a Cauchy–Riemann egyenletek. Mivel a komplex sík izomorf a kétdimenziós valós vektortérrel, $f$ komplex változós függvény felírható ekvivalens módon $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ alakban a következőképpen:

$f(x,y)=\begin{bmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{bmatrix}$

Pontosan akkor differenciálható $f$ valamely $z = x + yi$ pontban, ha teljesülnek az úgynevezett Cauchy–Riemann egyenletek:

$\partial_1 f_1(x,y) = \partial_2 f_2(x,y) \qquad \partial_1 f_2(x,y) = - \partial_2 f_1(x,y)$

Ekkor a derivált értéke a következő:

$f'(z) = \partial_1 f_1(x,y) + \partial_1 f_2(x,y) i$

Minden differenciálható komplex függvény analitikus

Megmutatható, hogy minden differenciálható komplex függvény analitikus, azaz az adott pont egy környezetében a függvény Taylor-sora létezik és előállítja a függvényt.

Holomorf függvények

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt holomorfnak nevezzük, ha differenciálható.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Meromorf függvények

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt meromorfnak nevezzük, ha legfeljebb izolált pontokban nem differenciálható.

A szó az ógörög meros (μέρος) szóból ered, mely azt jelenti rész, utalva arra, hogy a függvény csak az értelmezési tartományának egy részén differenciálható.