Valós analitikus függvény

Egy tetszőleges (a,b) intervallumon valós analitikusnak nevezünk egy függvényt, ha az intervallumon előállítja a Taylor-sora. Egy függvényt egész függvénynek nevezünk, ha mindenhol előállítja a Taylor-sora. Az analitikus függvények átmenetet képeznek a polinomok és az általános függvények között, olyan értelemben, hogy számos "szép", a polinomoknál megszokott tulajdonsággal rendelkeznek, de a polinomoktól lényegesen különböző függvények is lehetnek analitikusak.

Definíciók

Formálisan egy f függvény valós analitikus a valós számok egy D nyílt halmazán, ha bármely olyan x₀-ra, mely része a D-nek írható:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots$

ahol az a₀, a₁, ... együtthatók valós számok és a sor konvergens x-re x₀ környezetében.

Ezzel ekvivalens definíció:

analitikus függvénynek nevezzük az olyan végtelenszer differenciálható függvényeket, amelyeknek egy az értelmezési tartományukban lévő x₀ pont körüli Taylor sora

$T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$

és x₀ egy környezetében f(x)-hez konvergál.

Példák

• Példák analitikus függvényekre:
  • bármely polinom analitikus (valós és komplex esetben is), mivel egy polinom n-ed fokú, így bármeny n-nél magasabb fokú deriváltja nulla, így a Taylor-sora triviálisan konvergens;
  • az e^x függvény (exponenciális függvény, exp(x)) az egész értelmezési tartományán (R) analitikus, így definíció szerint egész;
  • a trigonometrikus, tetszőleges alapú exponenciális és logaritmikus függvények az értelmezési tartományuk egy tetszőleges halmazán analitikusak.

• Példák nem analitikus függvényekre:
  • az abszolút érték függvény nem analitikus mindenhol, mert a nullában nem differenciálható;
  • az exp(x²) függvény nem analitikus, mert a Taylor-sora nem állítja elő semmilyen intervallumon.

Analitikus függvények tulajdonságai

• Analitikus függvények összege, szorzata és kompozíciója is analitikus .

• Analitikus függvény reciproka akkor analitikus, ha a függvénynek nincs zérushelye.

• Analitikus függvény inverze akkor analitikus, ha (létezik és) a deriváltjának nincs zérushelye.

A polinomoknak nem lehet "túl sok" zérushelye, kivéve ha a polinom maga a konstans nulla, mivel a fokszám felső korlát a zérushelyek számára. Hasonló, bár gyengébb állítás igaz az analitikus függvényekre: Ha egy analitikus függvény zérushelyeinek a halmaza tartalmaz torlódási pontot, akkor a függvény a konstans nulla az értelmezési tartományának azon összefüggő halmazán, amely a torlódási pontot tartalmazza.

Továbbá, ha egy analitikus függvény egy x₀ pontbeli összes deriváltja nulla, akkor a függvény konstans (nem feltétlenül konstans nulla!) értelmezési tartományának azon az összefüggő halmazán amely az x₀ pontot tartalmazza

A fentiekből adódóan, az analitikus függvényeknek nagyobb a szabadsági foka mint a polinomoknak, bár még így is rendkívül speciálisak a valós függvények között.

Mátrixokkal való kapcsolat

Analitikus függvényeket definiálhatunk hatványsorukkal, ezáltal nemcsak színtiszta analízisbeli definíciókhoz jutunk ( A trigonometrikus függvények esetében nincs szükség a szög fogalmára. ), de az analitikus függvények egy meglepő tulajdonságára is fény derül, mégpedig, hogy négyzetes mátrixokra alkalmazhatunk analitikus függvényeket.Ezt hatványsoruk segítségével tehetjük meg, hiszen ott csak mátrixok hatványai, mátrix és szám különbsége, mátrix és szám szorzata áll. A mátrixhatványozás létező művelet; mátrixot számmal úgy szorzunk, hogy a mátrix minden elemét megszorozzuk a számmal; mátrix és szám különbségét úgy értelmezzük, hogy vesszük a szám helyett az identikus mátrix számmal való szorzatát és ezt vonjuk ki a mátrixból.

Irodalom

• I.N.Bronstein, K.A.Szemengyajev, G.Musiol, H.Mühlig: Matematikai kézikönyv, Typotex könyvkiadó, Budapest, 2006, (695. oldal), ISBN 978-963-9326-53-8
• Teodor Bulboacă, Petru T.Mocanu: Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Ábel könyvkiadó, Kolozsvár, 2003, ISBN 973-8239-91-5

Források

• Wolfram Mathworld – AnalyticFunction
• BME Analízis 1. előadása

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Analytic_function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.