Valós analitikus függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy tetszőleges (a,b) intervallumon valós analitikusnak nevezünk egy függvényt, ha az intervallumon előállítja a Taylor-sora. Egy függvényt egész függvénynek nevezünk, ha mindenhol előállítja a Taylor-sora. Az analitikus függvények átmenetet képeznek a polinomok és az általános függvények között, olyan értelemben, hogy számos "szép", a polinomoknál megszokott tulajdonsággal rendelkeznek, de a polinomoktól lényegesen különböző függvények is lehetnek analitikusak.

Definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Formálisan egy f függvény valós analitikus a valós számok egy D nyílt halmazán, ha bármely olyan x0-ra, mely része a D-nek írható:


f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots

ahol az a0, a1, ... együtthatók valós számok és a sor konvergens x-re x0 környezetében.

Ezzel ekvivalens definíció:

analitikus függvénynek nevezzük az olyan végtelenszer differenciálható függvényeket, amelyeknek egy az értelmezési tartományukban lévő x0 pont körüli Taylor sora


T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

és x0 egy környezetében f(x)-hez konvergál.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Példák analitikus függvényekre:
    • bármely polinom analitikus (valós és komplex esetben is), mivel egy polinom n-ed fokú, így bármeny n-nél magasabb fokú deriváltja nulla, így a Taylor-sora triviálisan konvergens az egész értelmezési tartományán (R), tehát egész;
    • az ex függvény (exponenciális függvény, exp(x)), és általában a tetszőleges alapú exponenciális függvények (ax) az egész értelmezési tartományukon (R) analitikusak, így definíció szerint egészek;
    • a trigonometrikus és hiperbolikus függvények egész értelmezési tartományukon (R) előállíthatók Taylor-sorukkal, így egész függvények;
    • a logaritmikus függvények az értelmezési tartományuk egy tetszőleges halmazán analitikusak.
  • Példák nem analitikus függvényekre:
    • az abszolút érték függvény nem analitikus mindenhol, mert a nullában nem differenciálható;
    • az alább definiált f(x) függvény az x=0 helyet tartalmazó intervallumon nem analitikus, mert ott Taylor-sora a konstans nullát állítja elő:

f(x)=\begin{cases}
\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}, & x\ne 0 \\
0, & x=0
\end{cases}

Analitikus függvények tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Analitikus függvények összege, szorzata és kompozíciója is analitikus .
  • Analitikus függvény reciproka akkor analitikus, ha a függvénynek nincs zérushelye.
  • Analitikus függvény inverze akkor analitikus, ha (létezik és) a deriváltjának nincs zérushelye.

A polinomoknak nem lehet "túl sok" zérushelye, kivéve ha a polinom maga a konstans nulla, mivel a fokszám felső korlát a zérushelyek számára. Hasonló, bár gyengébb állítás igaz az analitikus függvényekre: Ha egy analitikus függvény zérushelyeinek a halmaza tartalmaz torlódási pontot, akkor a függvény a konstans nulla az értelmezési tartományának azon összefüggő halmazán, amely a torlódási pontot tartalmazza.

Továbbá, ha egy analitikus függvény egy x0 pontbeli összes deriváltja nulla, akkor a függvény konstans (nem feltétlenül konstans nulla!) értelmezési tartományának azon az összefüggő halmazán amely az x0 pontot tartalmazza

A fentiekből adódóan, az analitikus függvényeknek nagyobb a szabadsági foka mint a polinomoknak, bár még így is rendkívül speciálisak a valós függvények között.

Mátrixokkal való kapcsolat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Analitikus függvényeket definiálhatunk hatványsorukkal, ezáltal nemcsak színtiszta analízisbeli definíciókhoz jutunk ( A trigonometrikus függvények esetében nincs szükség a szög fogalmára. ), de az analitikus függvények egy meglepő tulajdonságára is fény derül, mégpedig, hogy négyzetes mátrixokra alkalmazhatunk analitikus függvényeket. Ezt hatványsoruk segítségével tehetjük meg, hiszen ott csak mátrixok hatványai, mátrix és szám különbsége, mátrix és szám szorzata áll. A mátrixhatványozás létező művelet; mátrixot számmal úgy szorzunk, hogy a mátrix minden elemét megszorozzuk a számmal; mátrix és szám különbségét úgy értelmezzük, hogy vesszük a szám helyett az identikus mátrix számmal való szorzatát és ezt vonjuk ki a mátrixból.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • I.N.Bronstein, K.A.Szemengyajev, G.Musiol, H.Mühlig: Matematikai kézikönyv, Typotex könyvkiadó, Budapest, 2006, (695. oldal), ISBN 978-963-9326-53-8
  • Teodor Bulboacă, Petru T.Mocanu: Bevezetés az analitikus függvények geometriai elméletébe, Ábel könyvkiadó, Kolozsvár, 2003, ISBN 973-8239-91-5

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Analytic_function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]