Hiperbolikus függvények

A trigonometrikus és hiperbolikusz függvények, illetve ezek inverzei

A hiperbolikus függvények a matematikában a szögfüggvényekhez hasonló függvények.

A két alapvető hiperbolikus függvény a hiperbolikus szinusz (jelölése sh vagy sinh) és a hiperbolikus koszinusz (jelölése ch vagy cosh), melyekből levezethető a hiperbolikus tangens (jelölése th vagy tanh) stb. függvény a szögfüggvényekhez hasonlóan. Ezeknek a függvényeknek az inverzei az area hiperbolikus függvények.

Ahogy a (cos t, sin t) pontok egy kört határoznak meg, úgy a (ch t, sh t) pontok egy hiperbola jobb oldali félgörbéjét írják le. A hiperbolikus függvények azért is fontosak, mert több lineáris differenciálegyenlet megoldását fel lehet írni a használatukkal. Ilyen például derékszögű koordináta-rendszerben a súlya alatt lelógó kábel egyenlete. Alkalmazhatóak ezen kívül a Laplace-egyenlet megoldásánál, amely a fizika több területén – az elektromágnesség elméletében, hőátadásban, folyadékok dinamikájában és a speciális relativitáselméletben – is fontos.

Algebrai összefüggések

sh, ch és th

csch, sch és cth

A hiperbolikus függvények:

• Hiperbolikus szinusz:

$\text {sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin ix \!$

• Hiperbolikus koszinusz:

$\text {ch} x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos ix \!$

• Hiperbolikus tangens:

$\text {th} x = \frac{\text {sh} x}{\text {ch} x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = -i \tan ix \!$

• Hiperbolikus kotangens:

$\text {cth} x = \frac{\text {ch} x}{\text {sh} x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \!$

• Hiperbolikus szekáns:

$\text {sch} x = \frac{1}{\text {ch} x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec ix \!$

• Hiperbolikus koszekáns:

$\text {csch} x = \frac{1}{\text {sh} x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = i\,\csc\,ix \!$

ahol $i$ az imaginárius egység.

A fenti definíciókban a komplex alakok az Euler-formulából adódnak.

Hasznos összefüggések

$\text {sh}(-x) = -\text {sh} x\,\!$

$\text {ch}(-x) = \text {ch} x\,\!$

Innen:

$\text {th}(-x) = -\tanh x\,\!$

$\text {cth}(-x) = -\coth x\,\!$

$\text {sch}(-x) = \text {sch}\, x\,\!$

$\text {csch}(-x) = -\text {csch}\, x\,\!$

Látható, hogy a ch x és sch x páros, a többi páratlan függvény.

Integrálok

$\int\text {sh} cx\,dx = \frac{1}{c}\text {ch} cx + C$

$\int\text {ch} cx\,dx = \frac{1}{c}\text {sh} cx + C$

$\int \text {th} cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\text {ch} cx| + C$

$\int \text {cth} cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\text {sh} cx| + C$

A fenti kifejezésekben C az integrálás állandója.

Taylor-sorba fejtés

$\text {sh} x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\text {ch} x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\text {th} x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\text {cth} x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi$ (Laurent-sor)

$\text {sch}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\text {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi$ (Laurent-sor)

ahol

$B_n \,$ az n-ik Bernoulli-szám

$E_n \,$ az n-ik Euler-szám

Hasonlóságok a szögfüggvényekkel

Az x y = 1 hiperbola x > 1 tartományban lévő tetszőleges pontja hiperbolikus háromszöget határoz meg, amelyben a hiperbolikus szög melletti oldal a ch értékkel egyenlő, míg a szöggel szemben fekvő oldal az sh-val. Azonban mivel a hiperbola (1,1) pontja az origótól √2 távolságra van, ezért az oldalak hosszát 1/√2 tényezővel kell szoroznunk, hogy a helyes eredményt kapjuk.

Mint ahogy a (cos x, sin x) pontok egy kört határoznak meg, a (ch x, sh x) pontok az x² - y² = 1 egyenlőszárú hiperbola jobb oldali görbéjét írják le. Ez ezen a könnyen ellenőrizhető azonosságon:

$\text {ch}^2 x - \text {sh}^2 x = 1 \,$

és azon alapul, hogy ch x > 0 minden x-re.

A hiperbolikus függvények periodikusak $2 \pi i$ komplex periódus szerint.

A x paraméter nem a kör középponti szöge, mint a szögfüggvényeknél, hanem a hiperbolikus „szög”, amelynek értéke a kétszerese annak a területnek, melyet az x tengely, a hiperbola és egy, a hiperbola (ch x, sh x) pontjából az origóba húzott egyenes határol.

A hiperbolikus függvényekre igen sok olyan azonosság érvényes, melyek hasonlóak a szögfüggvények azonosságaihoz. Az Osborne-szabály kimondja, hogy minden trigonometrikus azonosságot egy analóg hiperbolikus azonossággá lehet alakítani a következőképpen:

• lecseréljük a szögfüggvényt a hiperbolikus megfelelőjével és
• az sh * sh kifejezés előjelét megváltoztatjuk.

Néhány példa:

$\text {sh}(x+y) = \text {sh} x \text {ch} y + \text {ch} x \text {sh} y \,$

$\text {ch}(x+y) = \text {ch} x \text {ch} y + \text {sh} x \text {sh} y \,$

$\text {th}(x+y) = \frac{\text {th} x + \text {th} y}{1 + \text {th} x \text {th} y} \,$

A „kétszeres szög” képletek:

$\text {sh} 2x\ = 2\text {sh} x \text {ch} x \,$

$\text {ch} 2x\ = \text {ch}^2 x + \text {sh}^2 x = 2\text {ch}^2 x - 1 = 2\text {sh}^2 x + 1 \,$

és a „fél-szög” képletek:

$\text {ch}^2\frac{x}{2} = \frac{\text {ch} x + 1}{2}$ Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párjának.

$\text {sh}^2\frac{x}{2} = \frac{\text {ch} x - 1}{2}$ Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párja szorozva --1-gyel.

Az sh x deriváltja ch x, a ch x deriváltja pedig sh x.

Kapcsolat az exponenciális függvénnyel

A hiperbolikus függvények definíciós képleteiből levezethetők a következő azonosságok:

$e^x = \text {ch} x + \text {sh} x \!$

és

$e^{-x} = \text {ch} x - \text {sh} x \!$

Deriváltak

$\frac{d}{dx}\text {sh} x = \text {ch} x \,$

$\frac{d}{dx}\text {ch} x = \text {sh} x \,$

$\frac{d}{dx}\text {th} x = 1 - \text {th}^2 x = \hbox{sch}^2 x = 1/\text {ch}^2 x \,$

$\frac{d}{dx}\text {cth} x = 1 - \text {cth}^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\text {sh}^2 x \,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{csch} x = -\hbox{csch}\ x \text {cth} x\,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{sech} x = -\hbox{sech}\ x \text {th} x\,$

Lásd még

• Inverz hiperbolikus függvények
• Hiperbolikus függvények integráljainak listája
• Láncgörbe
• Euler-féle szám

Külső hivatkozások

• Hyperbolic functions MathWorld megfelelő oldala
• GonioLab: Egységsugarú kör, szögfüggvények és hiperbolikus függvények szemléltetése.