Páros és páratlan függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A matematikában páros illetve páratlan függvénynek nevezzük azokat a valós függvényeket, amelyek kielégítenek bizonyos, az additív inverzzel kapcsolatos szimmetriatulajdonságokat. Különösen a hatványsorok és a Fourier-sorok vizsgálatában van nagy jelentőségük.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Páros függvények

Páros függvénynek nevezzük egy olyan f, valós számhoz valós számot rendelő függvényt, mely értelmezési tartománya minden x elemével együtt a -x elemet is tartalmazza és melyre teljesül, hogy

f(-x)=f(x)\,

(Tehát a páros függvény "elnyeli a minuszjelet".)

A páros függvények grafikonját tekintve fontos geometriai tulajdonsággal jellemezhetjük őket. Pontosan azok a függvények párosak, amelyek függvénygörbéje szimmetrikusak az y tengelyre (azaz az y tengelyre való tükrözés helybenhagyja őket).

Néhány példa páros függvényre:

  • abs: x \mapsto | x | nyilvánvalóan páros, hiszen minden x valós számra: |-x| = | (-1)\cdotx| = |-1| \cdot |x| = |x|
  • x \mapsto x2 szintén páros, mert a négyzetremelés "eltűnteti" a minuszjelet
  • cos: x \mapsto cos x páros függvény, mert egy α szög koszinuszán a mozgó szögszár egységkörrel alkotott metszéspontjának x koordinátáját értjük és az α illetve -α szög mozgó szögszára a kördiagramban az x tengelyre nézve tükörszimmetrikus, vagyis az egységkörrel vett metszéspontjuknak ugyanaz az x koordinátája

Az abszolútérték függvény páros

A négyzetreemelés függvény páros

A koszinusz függvény páros

[szerkesztés] Páratlan függvények

Páratlan függvénynek nevezzük azt a valós értékű függvényt, amelyikre teljesül:

  • ha x∈D(f), akkor -x∈D(f)
  • ∀x∈D(f):  f(-x)=-f(x).

Geometriailag pontosan azok a függvények páratlanok, amelyek szimmetrikusak az origóra (azaz az origókörüli 180 fokos forgatás helybenhagyja őket).

Néhány példa páratlan függvényre: x, x3, sin(x).

x függvény páratlansága

x3 függvény páratlansága

sin függvény páratlansága

[szerkesztés] Tulajdonságok

A páros és páratlan számokkal ellentétben a páros és páratlan függvények halmaza se nem diszjunkt, se nem fedik le együtt az összes függvényt. Az azonosan 0 függvény egyszerre páros és páratlan (ez az egyetlen ilyen); és számtalan olyan függvény van, ami se nem páros, se nem páratlan.

Minden függvény egyértelműen felbontható viszont egy páros és egy páratlan függvény összegére az alábbi módon:

f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,+\,\frac{f(x)-f(-x)}{2}

Ezt a műveleti tulajdonságokkal összevetve adódik, hogy rögzített értelmezési tartomány mellett mind a páros, mind a páratlan függvények egy vektorteret képeznek a valós számok felett; és az adott értelmezési tartomány feletti függvények tere ennek a két vektortérnek a direkt összege.

A páros függvények továbbá egy kommutatív algebrát formálnak a valós számok felett. A páratlan függvényekre ez nem igaz.

A páros függvények Taylor-sorában csak páros, a páratlan függvényekében csak páratlan kitevők vannak. (Ez indokolhatja az elnevezést is.) Periodikus páros függvények Fourier-sorában csak koszinuszos, periodikus páratlan függvényekében csak szinuszos tagok vannak.

[szerkesztés] Műveleti tulajdonságok

  • Páros függvények összege és konstansszorosa (egy szóval:lineáris kombinációja) páros; páratlanoké páratlan. Páratlan és páros függvények összege azonban általában se nem páros, se nem páratlan.
  • Páros függvények szorzata páros; páratlanok szorzata szintén páros. Egy páros és egy páratlan függvény szorzata páratlan.
  • Páros függvények deriváltja páratlan; páratlan függvényeké páros.

[szerkesztés] Lásd még

A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/P%C3%A1ros_%C3%A9s_p%C3%A1ratlan_f%C3%BCggv%C3%A9nyek”
Személyes eszközök