Páros és páratlan függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában páros illetve páratlan függvénynek nevezzük azokat a valós függvényeket, amelyek kielégítenek bizonyos, az additív inverzzel kapcsolatos szimmetriatulajdonságokat. Különösen a hatványsorok és a Fourier-sorok vizsgálatában van nagy jelentőségük. [mj 1]

Páros függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Páros függvénynek nevezzük egy olyan valós számhoz valós számot rendelő f függvényt, mely értelmezési tartománya minden x elemével együtt a -x elemet is tartalmazza és melyre teljesül, hogy

f(-x)=f(x)\, .

(Tehát a páros függvény "elnyeli a mínuszjelet".)

A páros függvények grafikonját tekintve a következő geometriai tulajdonsággal jellemezhetjük őket: Pontosan azok a függvények párosak, amelyek függvénygörbéje szimmetrikus az y tengelyre (azaz az y tengelyre való tükrözés helybenhagyja őket).

Néhány példa páros függvényre:

  • abs: x \mapsto | x | nyilvánvalóan páros, hiszen minden x valós számra |-x| = |x|.
  • x \mapsto x2 szintén páros, mert a négyzetremelés "eltünteti a minuszjelet".
  • cos: x \mapsto cos x páros függvény, mert egy α szög koszinuszán a mozgó szögszár egységkörrel alkotott metszéspontjának x koordinátáját értjük, és az α illetve -α szög mozgó szögszára a kördiagramban az x tengelyre nézve tükörszimmetrikus, vagyis az egységkörrel vett metszéspontjuknak ugyanaz az x koordinátája.

Páratlan függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Páratlan függvénynek nevezzük azt a valós értékű f függvényt, amelyikre teljesül, hogy ha x eleme az értelmezési tartományának, akkor -x is eleme, és

f(-x)=-f(x)\, .

Geometriailag pontosan azok a függvények páratlanok, amelyek grafikonja szimmetrikus az origóra (azaz az origó körüli 180 fokos forgatás, vagyis az origóra való középpontos tükrözés helybenhagyja őket).

Néhány példa páratlan függvényre:

  • x \mapsto x nyilvánvalóan páratlan.
  • x \mapsto x3 is páratlan, mert (-x)3=-x3.
  • sin: x \mapsto sin x szintén páratlan függvény.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A páros és páratlan számokkal ellentétben a páros és páratlan függvények halmaza se nem diszjunkt, se nem fedik le együtt az összes függvényt. Az azonosan 0 függvény egyszerre páros és páratlan (ez az egyetlen ilyen); és számtalan olyan függvény van, ami se nem páros, se nem páratlan.

Minden függvény egyértelműen felbontható viszont egy páros és egy páratlan függvény összegére az alábbi módon:

f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,+\,\frac{f(x)-f(-x)}{2}

Ezt a műveleti tulajdonságokkal összevetve adódik, hogy rögzített értelmezési tartomány mellett mind a páros, mind a páratlan függvények egy vektorteret képeznek a valós számok felett; és az adott értelmezési tartomány feletti függvények tere ennek a két vektortérnek a direkt összege.

A páros függvények továbbá egy kommutatív algebrát formálnak a valós számok felett. A páratlan függvényekre ez nem igaz.

A páros függvények Taylor-sorában csak páros, a páratlan függvényekében csak páratlan kitevők vannak. (Ez indokolhatja az elnevezést is.) Periodikus páros függvények Fourier-sorában csak koszinuszos, periodikus páratlan függvényekében csak szinuszos tagok vannak.

Műveleti tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Páros függvények összege és konstansszorosa (egy szóval:lineáris kombinációja) páros; páratlanoké páratlan. Páratlan és páros függvények összege azonban általában se nem páros, se nem páratlan.
  • Páros függvények szorzata páros; páratlanok szorzata szintén páros. Egy páros és egy páratlan függvény szorzata páratlan.
  • Páros függvények deriváltja páratlan; páratlan függvényeké páros.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Az elnevezés - Hajnal Imre szerint - valószínűleg onnan ered, hogy a nemnegatív egész kitevőjű valós hatványfüggvények közül a páros kitevőjűek a fenti értelemben is párosak, míg a páratlan kitevőjűek páratlanok.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]