Lineáris differenciálegyenlet

A közönséges lineáris differenciálegyenlet és a közönséges lineáris differenciálegyenlet-rendszer a közönséges differenciálegyenletek fontos osztálya.

Definíció

Adva legyen az $I \subset \mathbb{R}$ intervallum, a rajta értelmezett $f: I \times (\mathbb{R}^m)^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ és $g:I \rightarrow \mathbb{R}^m$ valós értékű függvény. Ekkor az

$y^{(n)} = f\left(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}\right) + g(x)$

egyenlet, ahol $x \in I,\ y, y', \ldots, y^{(n)} \in \mathbb{R}^m$, n-edrendű, m egyenlőséget tartalmazó (közönséges) lineáris differenciálegyenlet-rendszer, ha minden rögzített $x \in I$-re az

$(\mathbb{R}^m)^n\rightarrow \mathbb{R}^m, (a_0,\ldots, a_{n-1}) \mapsto f(x, a_0, \ldots, a_{n-1})$

leképezés lineáris.

Ha m=1, akkor (közönséges) lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Homogén, ha g(x) azonosan nulla, egyébként inhomogén.

A következőkben f(x)-et és g(x)-et folytonosnak tételezzük fel. Ekkor a $y: I \rightarrow \mathbb{R}^m$ n-szer differenciálható függvény az egyenletrendszer megoldása, ha

$y^{(n)}(x) = f\left(x,y(x),\ldots,y^{(n-1)}(x)\right)+g(x)$

teljesül minden $x\in I$-re. Ha $f$ nem függ az első változótól, akkor az egyenletrendszer állandó együtthatós.

Speciális esetei

Fontos speciális esetei:

• az m egyenletből álló elsőrendű lineáris diferenciálegyenlet-rendszer:

$\ y' = A(x)y + b(x)\ ,$

ahol $A: I \rightarrow \mathbb{R}^{m \times m}$ és $b: I \rightarrow \mathbb{R}^m$ folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenletrendszer

$\ y' = A(x)y\ .$

• az n-edrendű lineáris differenciálegyenlet:

$\sum_{i=0}^n a_i(x) y^{(i)} = b(x)\ ,$

ahol $a_i, b: I \rightarrow \mathbb{R}$ folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenlet

$\sum_{i=0}^n a_i(x) y^{(i)} = 0\ .$

Ide tartoznak a további példák:

• Airy-féle differenciálegyenlet: $\ y'' - \lambda xy = 0$.
• Bessel-féle differenciálegyenlet: $\ x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0,\ n \in \mathbb{R}$.
• Csebisev-féle differenciálegyenlet: $\ (1-x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$.
• Euler-féle differenciálegyenlet: $\sum_{i=0}^n b_i(cx+d)^i y^{(i)}(x) = 0$.
• Hermite-féle differenciálegyenlet: $\ y'' - 2xy' + 2ny = 0,\ n \in \mathbb{Z}$.
• hipergeometrikus differenciálegyenlet: $\ x(x - 1)y'' + \left((\alpha + \beta + 1)x - \gamma\right)y' + \alpha\beta y = 0,\ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$.
• Laguerre-féle differenciálegyenlet: $x \, y'' + (1-x)\,y' + n y = 0,\ n \in \mathbb{N}_0$.
• Legendre-féle differenciálegyenlet: $\ (1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0$.

Globális létezés és egyértelműség

Jelöljünk ki egy tetszőles $x_0 \in I$ és egy $y_0, \ldots, y_{n-1} \in \mathbb{R}^m$ pontot. Kezdetiérték-feladatnak nevezzük azt a feladatot, ami a differenciálegyenlet egy olyan megoldását keresi, ami átmegy ezen a ponton.

Az

$\left\{\begin{array}{l}y^{(n)} = f(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}) + g(x)\ \\ \ y^{(i)}(x_0) = y_i\ ,\ i = 0, \ldots, n-1\\\end{array}\right.$ kezdetiérték-feladatnak létezik egy, és csakis egy $y:I \rightarrow \mathbb{R}^m$ megoldása a Picard–Lindelöf-tételek szerint.

A megoldások struktúrája

Homogén rendszerek

A homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásai vektorteret alkotnak. Ez azt jelenti, hogy két megoldás lineáris kombinációja szintén megoldás. Az n-edrendű homogén lineáris differenciálegyenlet és az n egyenletből álló elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásainak vektortere n dimenziós. A megoldások vektorterének tetszőleges bázisát alaprendszernek nevezzük. Egy alaprendszert oszlopokként mátrixba téve kapjuk a Vronszkij-determinánst.

Inhomogén rendszerek

Az inhomogén rendszerhez tartozó homogén rendszer egy alaprendszerének és az inhomogén rendszer egy y_p megoldásnak ismeretében az inhomogén rendszer összes megoldása kifejezhető:

$\{y = y_h + y_{p}\ |\ y_h\$ a homogén rendszer megoldása $\}$

Ezt az y_p megoldást partikuláris megoldásnak nevezzük.

Ha már megvan az alaprendszer, akkor tehát elég egy partikuláris megoldást találni. Egy általános módszer a konstans variációja, de speciális esetekben más módszerekkel hamarabb célt érünk. A megoldások hatványsor alakjában is kereshetők.

A megoldást megkönnyítheti egy alkalmasan választott transzformáció. Ha például ismert az inhomogén tag Laplace-transzformáltja, akkor abból meg lehet kapni a megoldás Laplace-transzformáltját. Ebből inverz transzformációval visszakapható az inhomogén rendszer partikuláris megoldása.

Ha az elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer állandó együtthatós, akkor az egyenletrendszer alaprendszere megkapható a mátrix exponenciálisával, ami a Jordan-normálalakkal számítható.

Periodikus rendszerek

Legyen ω az $A:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{m \times m}$ együtthatómátrix és a $b:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^m$ tag közös periódusa. Keressük az $\ y' = A(x)y + b(x)$ rendszer ω szerint periodikus megoldását. Általában nem tudunk explicit alaprendszert konstruálni, de struktúráját ismerjük Floquet tételéből:

Az $\ y'(x)= A(x)y(x)$ rendszer Φ alaprendszere $\ \Phi(x) = P(x)\exp(xR)$ alakú, ahol $P: \mathbb{R}\rightarrow GL(m; \mathbb{C})$ folytonosan differenciálható, és ω szerint periodikus, és a $R \in \mathbb{C}^{m \times m}$ mátrix konstans.

Már csak az a kérdés, hogy léteznek-e ω szerint periodikus megoldások. Jelölje $L_\omega := \{y \in C^1(\mathbb{R}; \mathbb{R}^m)\ |\ y'(x) = A(x)y(x)\ \textrm{und}\ y\ \omega\textrm{-periodisch}\}$ a homogén egyenlet ω szerint periodikus megoldásainak halmazát!

Ha Φ a homogén $y' = A(x)y$ rendszer alaprendszere, akkor $\Phi(\omega)\Phi(0)^{-1}$ sajátértékei a homogén rendszer karakterisztikus multiplikátorai. A karakterisztikus multiplikátorok nem függnek az alaprendszer választásától. Egy tétel szerint a homogén $y' = A(x)y$ rendszernek akkor és csak akkor vannak nem triviális ω szerint periodikus megoldásai, ha 1 karakterisztikus multiplikátora a homogén rendszernek.

Inhomogén esetben tekintjük a $y' = -A(x)^Ty$ egyenlet ω szerint periodikus megoldásait:

$L_\omega^\star := \{y \in C^1(\mathbb{R}; \mathbb{R}^m)\ |\ y'(x) = -A(x)^Ty(x)\ \textrm{und}\ y\ \omega\textrm{-periodisch}\}\ .$

Ekkor a $y'=A(x)y+ b(x)$ rendszernek akkor és csak akkor van ω szerint periodikus nem triviális megoldása, ha $\int_0^\omega \langle y(s), b(s)\rangle{\rm d}s = 0$ teljesül minden $y \in L_\omega^\star$-ra.

Belátható, hogy $\dim L_\omega = \dim L_\omega^\star$. A $y'=A(x)y+ b(x)$ rendszernek tehát minden b-re van ω szerint periodikus megoldása, függetlenül $y' = A(x)y$ karakterisztikus multiplikátoraitól.

Források

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin/New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
• Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag 2006, ISBN 0-387-30769-9.