Lineáris differenciálegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A közönséges lineáris differenciálegyenlet és a közönséges lineáris differenciálegyenlet-rendszer a közönséges differenciálegyenletek fontos osztálya.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Adva legyen az I \subset \mathbb{R} intervallum, a rajta értelmezett f: I \times (\mathbb{R}^m)^n \rightarrow \mathbb{R}^m és g:I \rightarrow \mathbb{R}^m valós értékű függvény. Ekkor az

y^{(n)} = f\left(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}\right) + g(x)

egyenlet, ahol x \in I,\ y, y', \ldots, y^{(n)} \in \mathbb{R}^m, n-edrendű, m egyenlőséget tartalmazó (közönséges) lineáris differenciálegyenlet-rendszer, ha minden rögzített x \in I-re az

(\mathbb{R}^m)^n\rightarrow \mathbb{R}^m, (a_0,\ldots, a_{n-1}) \mapsto f(x, a_0, \ldots, a_{n-1})

leképezés lineáris.

Ha m=1, akkor (közönséges) lineáris differenciálegyenletnek nevezzük. Homogén, ha g(x) azonosan nulla, egyébként inhomogén.

A következőkben f(x)-et és g(x)-et folytonosnak tételezzük fel. Ekkor a y: I \rightarrow \mathbb{R}^m n-szer differenciálható függvény az egyenletrendszer megoldása, ha

y^{(n)}(x) = f\left(x,y(x),\ldots,y^{(n-1)}(x)\right)+g(x)

teljesül minden x\in I-re. Ha f nem függ az első változótól, akkor az egyenletrendszer állandó együtthatós.

Speciális esetei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fontos speciális esetei:

  • az m egyenletből álló elsőrendű lineáris diferenciálegyenlet-rendszer:
\ y' = A(x)y + b(x)\ ,
ahol A: I \rightarrow \mathbb{R}^{m \times m} és b: I \rightarrow \mathbb{R}^m folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenletrendszer
\ y' = A(x)y\ .
  • az n-edrendű lineáris differenciálegyenlet:
\sum_{i=0}^n a_i(x) y^{(i)} = b(x)\ ,
ahol a_i, b: I \rightarrow \mathbb{R} folytonos. A hozzá tartozó homogén egyenlet
\sum_{i=0}^n a_i(x) y^{(i)} = 0\ .

Ide tartoznak a további példák:

Globális létezés és egyértelműség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelöljünk ki egy tetszőles x_0 \in I és egy y_0, \ldots, y_{n-1} \in \mathbb{R}^m pontot. Kezdetiérték-feladatnak nevezzük azt a feladatot, ami a differenciálegyenlet egy olyan megoldását keresi, ami átmegy ezen a ponton.

Az

\left\{\begin{array}{l}y^{(n)} = f(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}) + g(x)\ \\
\ y^{(i)}(x_0) = y_i\ ,\ i = 0, \ldots, n-1\\\end{array}\right. kezdetiérték-feladatnak létezik egy, és csakis egy y:I \rightarrow \mathbb{R}^m megoldása a Picard–Lindelöf-tételek szerint.

A megoldások struktúrája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Homogén rendszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásai vektorteret alkotnak. Ez azt jelenti, hogy két megoldás lineáris kombinációja szintén megoldás. Az n-edrendű homogén lineáris differenciálegyenlet és az n egyenletből álló elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldásainak vektortere n dimenziós. A megoldások vektorterének tetszőleges bázisát alaprendszernek nevezzük. Egy alaprendszert oszlopokként mátrixba téve kapjuk a Vronszkij-determinánst.

Inhomogén rendszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az inhomogén rendszerhez tartozó homogén rendszer egy alaprendszerének és az inhomogén rendszer egy yp megoldásnak ismeretében az inhomogén rendszer összes megoldása kifejezhető:

\{y = y_h + y_{p}\ |\ y_h\ a homogén rendszer megoldása \}

Ezt az yp megoldást partikuláris megoldásnak nevezzük.

Ha már megvan az alaprendszer, akkor tehát elég egy partikuláris megoldást találni. Egy általános módszer a konstans variációja, de speciális esetekben más módszerekkel hamarabb célt érünk. A megoldások hatványsor alakjában is kereshetők.

A megoldást megkönnyítheti egy alkalmasan választott transzformáció. Ha például ismert az inhomogén tag Laplace-transzformáltja, akkor abból meg lehet kapni a megoldás Laplace-transzformáltját. Ebből inverz transzformációval visszakapható az inhomogén rendszer partikuláris megoldása.

Ha az elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer állandó együtthatós, akkor az egyenletrendszer alaprendszere megkapható a mátrix exponenciálisával, ami a Jordan-normálalakkal számítható.

Periodikus rendszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen ω az A:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{m \times m} együtthatómátrix és a b:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^m tag közös periódusa. Keressük az \ y' = A(x)y + b(x) rendszer ω szerint periodikus megoldását. Általában nem tudunk explicit alaprendszert konstruálni, de struktúráját ismerjük Floquet tételéből:

Az \ y'(x)= A(x)y(x) rendszer Φ alaprendszere \ \Phi(x) = P(x)\exp(xR) alakú, ahol P: \mathbb{R}\rightarrow GL(m; \mathbb{C}) folytonosan differenciálható, és ω szerint periodikus, és a R \in \mathbb{C}^{m \times m} mátrix konstans.

Már csak az a kérdés, hogy léteznek-e ω szerint periodikus megoldások. Jelölje L_\omega := \{y \in C^1(\mathbb{R}; \mathbb{R}^m)\ |\ y'(x) = A(x)y(x)\ \textrm{und}\ y\ \omega\textrm{-periodisch}\} a homogén egyenlet ω szerint periodikus megoldásainak halmazát!

Ha Φ a homogén y' = A(x)y rendszer alaprendszere, akkor \Phi(\omega)\Phi(0)^{-1} sajátértékei a homogén rendszer karakterisztikus multiplikátorai. A karakterisztikus multiplikátorok nem függnek az alaprendszer választásától. Egy tétel szerint a homogén y' = A(x)y rendszernek akkor és csak akkor vannak nem triviális ω szerint periodikus megoldásai, ha 1 karakterisztikus multiplikátora a homogén rendszernek.

Inhomogén esetben tekintjük a y' = -A(x)^Ty egyenlet ω szerint periodikus megoldásait:

L_\omega^\star := \{y \in C^1(\mathbb{R}; \mathbb{R}^m)\ |\ y'(x) = -A(x)^Ty(x)\ \textrm{und}\ y\ \omega\textrm{-periodisch}\}\ .

Ekkor a y'=A(x)y+ b(x) rendszernek akkor és csak akkor van ω szerint periodikus nem triviális megoldása, ha \int_0^\omega \langle y(s), b(s)\rangle{\rm d}s = 0 teljesül minden y \in L_\omega^\star-ra.

Belátható, hogy \dim L_\omega = \dim L_\omega^\star. A y'=A(x)y+ b(x) rendszernek tehát minden b-re van ω szerint periodikus megoldása, függetlenül y' = A(x)y karakterisztikus multiplikátoraitól.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter - de Gruyter Lehrbücher, Berlin/New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
  • Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag 2006, ISBN 0-387-30769-9.