Laurent-sor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Laurent-sor egy hatványsorhoz hasonló sor, aminek negatív indexű tagjai is lehetnek. Egy c középpontú, x változójú Laurent-sor alakja:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (x-c)^n

ahol an és c többnyire komplex számok; ekkor azonban megszokottabb a változót z-vel jelölni.

Nem minden Laurent-sor tartalmaz mindkét irányban végtelen sok tagot. Ha valamettől kezdve az összes együttható nulla, akkor azokat a tagokat nem számítják a sorhoz.

A negatív kitevős együtthatók által alkotott sor a szinguláris vagy főrész. Ha a szinguláris rész nulla, akkor a Laurent-sor hatványsor. Ha véges sok együttható nem nulla, akkor a sor Laurent-polinom. Ha a sor hatványsor és Laurent-polinom is, akkor polinom.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen K\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}, f\colon K\to K \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \mbox{különben}\end{cases}.

K=\mathbb{R}-re f akárhányszor differenciálható, K=\mathbb{C}-re viszont nem komplex differenciálható x = 0-ban, ott lényeges a szingularitása.

Ha -\frac{1}{x^2}-et behelyettesítjük az exponenciális függvény hatványsorába, akkor f Laurent-sorát kapjuk 0 középponttal:

f(x) = \sum_{j=0}^\infty (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!}

Ez a sor minden x komplex számra konvergál, kivéve a x = 0-ra, ahol maguk az összeadandók sincsenek értelmezve.

A Laurent-sor közelítése különböző n-ekre

Az ábra azt mutatja, hogyan közelíti a

f_n(x) = \sum_{j=0}^n (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!}

sor a függvényt (az n = \infty görbe f grafikonja).

Konvergencia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Laurent-sorok a függvénytan fontos segédeszközei, különösen a szingularitások vizsgálatában. A Laurent-sorok olyan függvényeket írnak le, amelyek körgyűrűn holomorfak. Speciálisan, a hatványsorok körlapon holomorf függvényeket írnak le.

Legyen \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-c)^n z változós, c körüli Laurent sor az an komplex együtthatókkal. Ekkor egyértelműen vannak r és R számok, hogy a sor konvegrens az r sugarú körív és az R sugarú körív által határolt nyílt körgyűrűn. Sőt, a konvergencia abszolút A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}-n, és lokálisan egyenletes is minden, a körgyűrű által tartalmazott kompakt részhalmazon. Ez azt jelenti, hogy a sor mindkét része konvergens a megfelelő módon. A Laurent-sor holomorf függvényt definiál a körgyűrűn. A sor nem konvergál azokon a komplex számokon, amelyekre \{ z : r > \vert z - c \vert\vee\vert z - c \vert > R\}. Ennek az az oka, hogy a két rész valamelyike divergál. A határpontokban a konvergenciát külön kell vizsgálni. Általános érvénnyel csak azt lehet tudni, hogy a belső ésa külső körön is van olyan pont, ahol a sor nem folytatható.

A két sugár, r és R nagysága lehet akár 0, de lehet végtelen is. Lehet az is, hogy a két sugár egyenlő, a konvergencia egy körvonalra korlátozódik. A sugarak a Cauchy-Hadamard-képlettel számíthatók:

r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}

ahol a képletekben \frac{1}{0}=\infty és \frac{1}{\infty}=0.

Megfordítva, ha van egy holomorf függvény a A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \} tartományon, akkor a függvény Laurent-sorba fejthető a tartomány középpontjában, és ez a sor a teljes A tartományon konvergál. Az együtthatók így határozhatók meg:

a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(c)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-c\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta

minden n\in\mathbb{Z}-re és egy \varrho\in(r,R)-ra, ahol is az utóbbi választása lényegtelen a Cauchy-integráltétel miatt.

Különösen érdekes a meromorf függvények és szingularitásaik esete. Ekkor a szingularitás körül sorba fejtett függvény -1 indexű együtthatója, a reziduum különös jelentőséggel bír az integrálszámításban a reziduumtétel szerint.

Formális Laurent-sorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha eltekintünk a konvergencia kérdésétől, akkor formális Laurent-sorokat kapunk. Ezekben a határozatlant általában x-szel jelölik. Ekkor a sor együtthatói egy bizonyos kommutatív gyűrűből származnak, ennek jele többnyire R. Középpontnak a gyűrű nullelemét szokás venni. A szinguláris részt minden elemnél véges sok tagra korlátozzák, mert ekkor a szorzat együtthatói konvolúcióval számíthatók. Összeadáskor a megfelelő együtthatókat összegezzük. Mindezek a műveletek megfelelnek a Laurent-sorokkal való számolásnak. Két formális Laurent-sort akkor tekintünk egyenlőnek, ha a megfelelő együtthatói egyenlőek.

Ezekkel a műveletekkel a formális Laurent-sorok gyűrűt alkotnak. Ha az alapgyűrű test, akkor ez a gyűrű integritási tartomány. Hányadosteste izomorf a test feletti Laurent-sorok gyűrűjével.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]