Reziduumtétel

A reziduumtétel a komplex függvénytan legfontosabb tételeinek egyike. A Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálformula közös általánosítása. Eszközt ad egy tartományon az izolált szingularitásait kivéve holomorf függvény görbe menti integráljának kiszámításához, ha ismerjük továbbá a következőket: a függvény pólusokbeli reziduumai, a tartomány által tartalmazott lánc, és annak körülfordulási száma. Nemcsak elméleti jelentősége van, hanem valós integrálok kiszámításához is felhasználható.

A tétel kimondása

Ha $D\subseteq\mathbb{C}$ tartomány, $D_f$ véges sok izolált pont halmaza $D$-ben, és $f\colon D\setminus D_f \to \mathbb{C}$ holomorf, akkor minden nullhomológ $\Gamma \subset D$ ahol még $\operatorname{trace}\,\Gamma\cap D_f=\emptyset$ és $\operatorname{ind_\Gamma}$ a görbe körülfordulási száma:

$\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma f=\sum\limits_{a\in D_f}\operatorname{ind}_{\Gamma}(a)\operatorname{Res}_a f$

A jobb oldal mindig véges, mivel $\Gamma$ nullhomológ, tehát $\operatorname{Int}\,\Gamma$ relatív kompakt $D$-ben, így korlátos.

• Ha a $D_f$-beli pontokban a szingulariások megszüntethetők, akkor itt a reziduumok eltűnnek, és visszakapjuk Cauchy integráltételét:

$\int_\Gamma\,f=0.$

• Ha $f$ holomorf $D$-ben és $z\in D$, és $\textstyle \zeta\mapsto\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}$-nak elsőrendű pólusa van $z$-ben$f(z)$ reziduummal, akkor visszakapjuk a Cauchy-integrálformulát:

$\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta = \operatorname{ind}_{\Gamma}(z)f(z).$

A nullhelyeket és a pólusokat számoló integrál

Ha $f\not\equiv 0$ meromorf $D$-ben, és $N$ f nullhelyeinek, $P$ pólusainak halmaza, és $\operatorname{trace}\,\Gamma\cap \left( N\cup P \right)=\emptyset$, akkor a reziduumtétel felhasználásával kapjuk:

$\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma\frac{f'}{f}=\sum\limits_{a\in N\cup P}\operatorname{ind}_{\Gamma}(a)\operatorname{ord}_a f$

ahol

$\operatorname{ord}_a f := \begin{cases} k, & \mbox{ ha }f\mbox{-nek }a\mbox{-ban }k\mbox{-adrendű nullhelye van }\\ -k, & \mbox{ ha }f\mbox{-nek }a\mbox{-ban }k\mbox{-adrendű pólusa van}\\ 0, & \mbox{különben} \end{cases}$

$f$ null-, illetve pólushelyeinek rendje $a$-ban. A logaritmikus derivált reziduumának számítási szabályával

$\operatorname{ord}_a f = \operatorname{Res}_a\frac{f'(z)}{f(z)}$.

Alkalmazásai

A reziduumtétellel valós improprius integrálok is számíthatók. Ehhez az integrációs tartományt egyre bővebb véges valós intervallumokkal közelítik, és ezeket az intervallumokat zárt görbévé egészítik ki a komplex síkon. A görbét úgy konstruálják, hogy a valós szakaszokon kívül eső részeken a görbe menti integrál a nullához tartson. A módszer használható úgy is, hogy a komplex síkot egy végtelen ponttal egészítik ki. Az elméleti fizikában ezt a módszert a reziduumok módszerének nevezik.

Törtracionális függvények

Ha $f=\tfrac{p}{q}$ a $\operatorname{deg}\,p+2\leq\operatorname{deg}\,q$ és a $q(z)\neq 0$ polinomok hányadosa minden $z\in\mathbb{R}$-re, akkor

$\int_{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z = 2\pi\mathrm{i} \sum_{a\in \mathbb{H}}\operatorname{Res}_a f(z)$,

ahol $\mathbb{H}:=\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Im} z>0\}$ a felső félsík, és egy elég nagy $R\in\mathbb{R}$-re és $\alpha\colon [0,\pi]\to\mathbb{C}$-val és $t\mapsto Re^{\mathrm{i}t}$-val kiegészítve integrálunk a $\Gamma := [-R,R] \oplus \alpha$ zárt félkörön, és tekintjük az $R\rightarrow\infty$ határátmenetet. $\left|\tfrac{p(z)}{q(z)}\right| \leq \tfrac{c_p |z|^{\operatorname{deg}\,p}}{c_q |z|^{\operatorname{deg}\,q}} \leq \tfrac{c}{|z|^2}$ miatt egy elég nagy $|z|$-re és a $c,c_p,c_q\in\mathbb{R}$-re a görbe menti integrálokra vonatkozó becsléssel

$\left|\int_\alpha f\right| \leq L(\alpha) \cdot \max_{\zeta\in\operatorname{im}\alpha}\left| f(\zeta) \right| \leq \pi R \cdot \frac{c}{R^2} \rightarrow 0\,(R\rightarrow\infty)$,

tehát $\textstyle \int_\Gamma f \rightarrow \int _{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z\,(R\rightarrow\infty)$ és a fenti becslés miatt az utóbbi integrál is létezik.

Példa: Legyen $f\colon\mathbb{C}\setminus\{\pm\mathrm{i}\}\to\mathbb{C}$, $z\mapsto\tfrac{1}{z^2+1}$ első rendű pólussal $\pm\mathrm{i}$-ben. Ekkor $\operatorname{Res}_{\mathrm{i}} f(z)=\tfrac{1}{2\mathrm{i}}$, és így $\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z = 2\pi\mathrm{i} \cdot \tfrac{1}{2\mathrm{i}} = \pi$.

Trigonometrikus függvények

Legyen $r =\tfrac{p}{q}$ két polinom hányadosa, ahol $q(x,y)\neq 0$ minden $x,y\in\mathbb{C}$-re, továbbá $x^2+y^2=1$. Ekkor

$\begin{align} & \int_0^{2\pi} r(\cos t,\sin t)\mathrm{d}t\\ =& \int_0^{2\pi} r\left( \frac{e^{\mathrm{i}t}+e^{-\mathrm{i}t}}{2}, \frac{e^{\mathrm{i}t}-e^{-\mathrm{i}t}}{2\mathrm{i}}\right)\mathrm{d}t \\ =& \int_{\partial\mathbb{E}} \frac{1}{\mathrm{i}z}\cdot r\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2},\frac{z-\frac{1}{z}}{2\mathrm{i}}\right) \mathrm{d}{z}\\ =& 2\pi\sum_{a\in\mathbb{E}}\operatorname{Res}_a \left(\frac{1}{z}\cdot r\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2},\frac{z-\frac{1}{z}}{2\mathrm{i}}\right)\right),\end{align}$

ahol $\mathbb{E} := \{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ az egységkörlap. Ekkor az egységkör körülfordulási száma az egységkörlap belsejében 1, és a feltevés szerint nincsenek szingularitások az egységkörvonalon.

Példa: Teljesül

$\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}t}{2+\sin t} = 2\int_{\partial\mathbb{E}}\frac{\mathrm{d}z}{z^2+4\mathrm{i}z-1} = 4\pi\mathrm{i} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$,

mivel $z\mapsto \tfrac{1}{z^2+4\mathrm{i}z-1}$-nek elsőrendű pólusa van $\left(-2\pm\sqrt{3}\right)\mathrm{i}$-ben, de csak a $\left(-2+\sqrt{3}\right)\mathrm{i}$-ben levő pólusa fekszik $\mathbb{E}$-ben, és ott $f$ reziduuma $\tfrac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}}$.

Fourier-transzformált

Adva legyen egy $f\in C^{\infty}(\mathbb{R}) \cap L^1(\mathbb{R})$ függvény, továbbá az $a_1, ... a_k \in \mathbb{H}$ pontok, ahol $f\in \mathbb{O} (\{z,\operatorname{Im} z > -\varepsilon\} \cap \{a_1, ... a_k\} )$, és $\varepsilon >0$. Ekkor van két $C,\delta>0$ szám, hogy $\left|f(z)\right|\leq C\left|z\right|^{-1-\delta}$ elég nagy $\left|z\right|$-re, ekkor minden $x > 0$-re

$\int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{\mathrm{i}xy}\mathrm{d}y = 2\pi\mathrm{i} \sum_{a\in\mathbb{H}}\operatorname{Res}_a (f(z)e^{\mathrm{i}xz}).$

Ugyanez a forma hasonlóan teljesül $x < 0$-ra. Ezzel a módszerrel bonyolult Fourier-integrálok számíthatók. A felső félsíkon az integrál eltűnik a Jordan-lemma miatt.

Bizonyítása

A tétel az általános Cauchy-tétel felhasználásával bizonyítható.

Legyenek a $C_j$ körök $z_j$ középpontú körök, és sugaruk legyen akkora, hogy diszjunktak maradjanak, és benne maradjanak a $D$ tartományban. Vegyük ezeket a köröket a $\gamma$ lánchoz, és nevezzük az így kapott láncot $\gamma _1$-nek! Az általános Cauchy-tétellel

$\int _{\gamma _1} f(z)\operatorname dz=\int _{\gamma} f(z) \operatorname dz -\sum _j n(\gamma, z_j) \int _{C_j} f(z) \operatorname dz$

Az $f$ függvény reziduumának integrálos alakja:

$a_{-1}^{(j)}=\frac{1}{2 \pi i }\int_{C_j} f(z) \operatorname dz$

Ezt behelyettesítve a bizonyítás kész.

Álatalánosítása

A reziduumtétel kompakt Riemann-felületekre is kiterjeszthető. Egy ilyen felületen értelmezett 1-forma reziduumainak összege nulla.

Következményként adódik Liouville második tétele az elliptikus függvényekről.

Források

• Halász Gábor: Bevezetés a komplex függvénytanba
• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 229.
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 145, Satz 4.1.
• A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel Kiadó: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online