Reziduumtétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A reziduumtétel a komplex függvénytan legfontosabb tételeinek egyike. A Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálformula közös általánosítása. Eszközt ad egy tartományon az izolált szingularitásait kivéve holomorf függvény görbe menti integráljának kiszámításához, ha ismerjük továbbá a következőket: a függvény pólusokbeli reziduumai, a tartomány által tartalmazott lánc, és annak körülfordulási száma. Nemcsak elméleti jelentősége van, hanem valós integrálok kiszámításához is felhasználható.

A tétel kimondása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha D\subseteq\mathbb{C} tartomány, D_f véges sok izolált pont halmaza D-ben, és f\colon D\setminus D_f \to \mathbb{C} holomorf, akkor minden nullhomológ \Gamma \subset D ahol még \operatorname{trace}\,\Gamma\cap D_f=\emptyset és \operatorname{ind_\Gamma} a görbe körülfordulási száma:

\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma f=\sum\limits_{a\in D_f}\operatorname{ind}_{\Gamma}(a)\operatorname{Res}_a f

A jobb oldal mindig véges, mivel \Gamma nullhomológ, tehát \operatorname{Int}\,\Gamma relatív kompakt D-ben, így korlátos.

  • Ha a D_f-beli pontokban a szingularitások megszüntethetők, akkor itt a reziduumok eltűnnek, és visszakapjuk Cauchy integráltételét:
\int_\Gamma\,f=0.
  • Ha f holomorf D-ben és z\in D, és \textstyle \zeta\mapsto\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}-nak elsőrendű pólusa van z-benf(z) reziduummal, akkor visszakapjuk a Cauchy-integrálformulát:
\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta = \operatorname{ind}_{\Gamma}(z)f(z).

A nullhelyeket és a pólusokat számoló integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha f\not\equiv 0 meromorf D-ben, és N f nullhelyeinek, P pólusainak halmaza, és \operatorname{trace}\,\Gamma\cap \left( N\cup P \right)=\emptyset, akkor a reziduumtétel felhasználásával kapjuk:

\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma\frac{f'}{f}=\sum\limits_{a\in N\cup P}\operatorname{ind}_{\Gamma}(a)\operatorname{ord}_a f

ahol

\operatorname{ord}_a f := \begin{cases} k, & \mbox{ ha }f\mbox{-nek }a\mbox{-ban }k\mbox{-adrendű nullhelye van }\\ -k, & \mbox{ ha }f\mbox{-nek }a\mbox{-ban }k\mbox{-adrendű pólusa van}\\ 0, & \mbox{különben} \end{cases}

f null-, illetve pólushelyeinek rendje a-ban. A logaritmikus derivált reziduumának számítási szabályával

\operatorname{ord}_a f = \operatorname{Res}_a\frac{f'(z)}{f(z)}.

Alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A reziduumtétellel valós improprius integrálok is számíthatók. Ehhez az integrációs tartományt egyre bővebb véges valós intervallumokkal közelítik, és ezeket az intervallumokat zárt görbévé egészítik ki a komplex síkon. A görbét úgy konstruálják, hogy a valós szakaszokon kívül eső részeken a görbe menti integrál a nullához tartson. A módszer használható úgy is, hogy a komplex síkot egy végtelen ponttal egészítik ki. Az elméleti fizikában ezt a módszert a reziduumok módszerének nevezik.

Törtracionális függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha f=\tfrac{p}{q} a \operatorname{deg}\,p+2\leq\operatorname{deg}\,q és a q(z)\neq 0 polinomok hányadosa minden z\in\mathbb{R}-re, akkor

\int_{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z = 2\pi\mathrm{i} \sum_{a\in \mathbb{H}}\operatorname{Res}_a f(z),

ahol \mathbb{H}:=\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Im} z>0\} a felső félsík, és egy elég nagy R\in\mathbb{R}-re és \alpha\colon [0,\pi]\to\mathbb{C}-val és t\mapsto Re^{\mathrm{i}t}-val kiegészítve integrálunk a \Gamma := [-R,R] \oplus \alpha zárt félkörön, és tekintjük az R\rightarrow\infty határátmenetet. \left|\tfrac{p(z)}{q(z)}\right| \leq \tfrac{c_p |z|^{\operatorname{deg}\,p}}{c_q |z|^{\operatorname{deg}\,q}} \leq \tfrac{c}{|z|^2} miatt egy elég nagy |z|-re és a c,c_p,c_q\in\mathbb{R}-re a görbe menti integrálokra vonatkozó becsléssel

\left|\int_\alpha f\right| \leq L(\alpha) \cdot \max_{\zeta\in\operatorname{im}\alpha}\left| f(\zeta) \right| \leq \pi R \cdot \frac{c}{R^2} \rightarrow 0\,(R\rightarrow\infty), tehát \textstyle \int_\Gamma f \rightarrow \int _{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z\,(R\rightarrow\infty) és a fenti becslés miatt az utóbbi integrál is létezik.

Példa: Legyen f\colon\mathbb{C}\setminus\{\pm\mathrm{i}\}\to\mathbb{C}, z\mapsto\tfrac{1}{z^2+1} első rendű pólussal \pm\mathrm{i}-ben. Ekkor \operatorname{Res}_{\mathrm{i}} f(z)=\tfrac{1}{2\mathrm{i}}, és így \textstyle \int_{-\infty}^{\infty} f(z)\mathrm{d}z = 2\pi\mathrm{i} \cdot \tfrac{1}{2\mathrm{i}} = \pi.

Trigonometrikus függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen r =\tfrac{p}{q} két polinom hányadosa, ahol q(x,y)\neq 0 minden x,y\in\mathbb{C}-re, továbbá x^2+y^2=1. Ekkor

\begin{align}
& \int_0^{2\pi} r(\cos t,\sin t)\mathrm{d}t\\
=& \int_0^{2\pi} r\left( \frac{e^{\mathrm{i}t}+e^{-\mathrm{i}t}}{2}, \frac{e^{\mathrm{i}t}-e^{-\mathrm{i}t}}{2\mathrm{i}}\right)\mathrm{d}t \\
=& \int_{\partial\mathbb{E}} \frac{1}{\mathrm{i}z}\cdot r\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2},\frac{z-\frac{1}{z}}{2\mathrm{i}}\right) \mathrm{d}{z}\\
=& 2\pi\sum_{a\in\mathbb{E}}\operatorname{Res}_a \left(\frac{1}{z}\cdot r\left(\frac{z+\frac{1}{z}}{2},\frac{z-\frac{1}{z}}{2\mathrm{i}}\right)\right),\end{align}

ahol \mathbb{E} := \{z\in\mathbb{C}:|z|<1\} az egységkörlap. Ekkor az egységkör körülfordulási száma az egységkörlap belsejében 1, és a feltevés szerint nincsenek szingularitások az egységkörvonalon.

Példa: Teljesül

\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}t}{2+\sin t} = 2\int_{\partial\mathbb{E}}\frac{\mathrm{d}z}{z^2+4\mathrm{i}z-1} = 4\pi\mathrm{i} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}},

mivel z\mapsto \tfrac{1}{z^2+4\mathrm{i}z-1}-nek elsőrendű pólusa van \left(-2\pm\sqrt{3}\right)\mathrm{i}-ben, de csak a \left(-2+\sqrt{3}\right)\mathrm{i}-ben levő pólusa fekszik \mathbb{E}-ben, és ott f reziduuma \tfrac{1}{2\sqrt{3}\mathrm{i}}.

Fourier-transzformált[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Adva legyen egy f\in C^{\infty}(\mathbb{R}) \cap L^1(\mathbb{R}) függvény, továbbá az a_1, ... a_k \in \mathbb{H} pontok, ahol f\in \mathbb{O} (\{z,\operatorname{Im} z > -\varepsilon\} \cap \{a_1, ... a_k\} ), és \varepsilon >0. Ekkor van két C,\delta>0 szám, hogy \left|f(z)\right|\leq C\left|z\right|^{-1-\delta} elég nagy \left|z\right|-re, ekkor minden  x > 0 -re

\int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{\mathrm{i}xy}\mathrm{d}y = 2\pi\mathrm{i} \sum_{a\in\mathbb{H}}\operatorname{Res}_a (f(z)e^{\mathrm{i}xz}).

Ugyanez a forma hasonlóan teljesül x < 0-ra. Ezzel a módszerrel bonyolult Fourier-integrálok számíthatók. A felső félsíkon az integrál eltűnik a Jordan-lemma miatt.

Bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel az általános Cauchy-tétel felhasználásával bizonyítható.

Legyenek a C_j körök z_j középpontú körök, és sugaruk legyen akkora, hogy diszjunktak maradjanak, és benne maradjanak a D tartományban. Vegyük ezeket a köröket a \gamma lánchoz, és nevezzük az így kapott láncot \gamma _1-nek! Az általános Cauchy-tétellel

\int _{\gamma _1} f(z)\operatorname dz=\int _{\gamma} f(z) \operatorname dz -\sum _j n(\gamma, z_j) \int _{C_j} f(z) \operatorname dz

Az f függvény reziduumának integrálos alakja:

a_{-1}^{(j)}=\frac{1}{2 \pi i }\int_{C_j} f(z) \operatorname dz

Ezt behelyettesítve a bizonyítás kész.

Általánosítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A reziduumtétel kompakt Riemann-felületekre is kiterjeszthető. Egy ilyen felületen értelmezett 1-forma reziduumainak összege nulla.

Következményként adódik Liouville második tétele az elliptikus függvényekről.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Halász Gábor: Bevezetés a komplex függvénytanba
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 229.
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 145, Satz 4.1.
  • A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel Kiadó: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online