Meromorf függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A meromorf függvény a komplex analízis egy fogalma. Egy komplex függvény meromorf a komplex sík egy D nyílt halmazán, ha itt minden szingularitása izolált pólus. (Az elnevezés az ógörög „meros” (μέρος), magyarul rész, szóból ered, arra utalva, hogy a függvény nem differenciálható a teljes halmazon, csak egy részén.

Minden D-n meromorf f függvény kifejezhető két (D-n) holomorf függvény hányadosaként:  f = g/h (ahol h nem konstans 0), ekkor h gyökei éppen f pólusai lesznek.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen D \subseteq \mathbb{C} nyílt halmaz, P \subseteq D az izolált pólusok halmaza.

f :D \setminus P \to \mathbb{{C}}

komplex függvény meromorf (a D halmazon) ha f holomorf a D \ P halmazon.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gamma-függvény meromorf a teljes komplex síkon
  • Polinomfüggvények hányadosai, azaz a racionális függvények meromorfak a komplex síkon. Racionális függvény például az alábbi hozzárendelés:
 z \mapsto  \frac{z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1} \
  • Meromorf a gamma-függvény is a teljes komplex síkon.
  • A Riemann-féle zéta függvény is meromorf a teljes komplex síkon.
  • Meromorfak a teljes komplex síkon alábbi hozzárendelések is:
z \mapsto \frac{e^{z}}{z} \
z \mapsto \frac{ \sin{z}}{(z-1)^{2}} \
  • Azonban az
 f(z)=e^{\frac{1}{z}}
függvény, bár az origón kívül mindenhol értelmezve van, nem meromorf a komplex síkon, mivel a 0-beli szingularitása nem pólus, hanem lényeges szingularitás. Viszont meromorf (mivel holomorf) a \mathbb{C} \setminus \{0\} halmazon.
  • Ehhez hasonlóan az
 f(z) = \frac{z}{e^z - 1}
függvénynek minden z = 2 n \pi i, \left(n \in \mathbb{Z}\right) alakú pontban szingularitása van, de nem meromorf \mathbb{C}-n, mivel a 0-beli szingularitása megszüntethető szingularitás: \lim_{z \rightarrow 0} f(z) = 1, tehát nem pólus.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel a meromorf függvény pólusai izoláltak, legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok lehet belőlük. Számosságuk azonban nem feltétlenül véges. Az alábbi példában f megszámlálhatóan végtelen sok pólussal rendelkezik:

z \mapsto f(z) = \frac{1}{\sin z}.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002)