Holomorf függvények

A holomorf függvény a komplex analízis egy fogalma. A nyílt halmazon értelmezett, komplex értelemben differenciálható komplex függvényeket nevezzük holomorfnak.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Definíció [szerkesztés]

1. Definíció: Legyen adva az $\Omega \subseteq \mathbb{{C}}$ nyílt halmaz, és az $f:\Omega \to \mathbb{C}$ leképezés. Ezt akkor mondjuk holomorf függvénynek, ha minden $z_0\in\Omega$ pontban létezik a következő határérték

$\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ .

Ezt a határértéket az f függvény z₀-beli (komplex) deriváltjának nevezzük, és f'(z₀)-lal jelöljük.

2.Definíció: $f$ holomorf, ha előáll $z_0$ pont $r$ -sugarú (alkalmasan választott $r$ -rel) környezetében a következő alakban:

$f(z)=f(z_0)+A(z-z_0)+\varepsilon_{z_0,r}(z)$

ahol $A$ komplex szám (természetesen függ $z_0$ -tól), $\varepsilon_{z_0,r}$ pedig úgynevezett kisrendű függvény, azaz

$\lim_{z\to z_0}\frac{\varepsilon_{z_0,r}(z)}{z-z_0} = 0$

Ekkor A=f'(z₀).

3. Definíció: $f$ holomorf egy tartományban, ha minden a tartomány belsejében fekvő zárt görbén vett komplex vonalintegrálja eltűnik, azaz igaz a következő összefüggés:

$\oint f(z)dz=0$

Ez egyébként ekvivalens azzal, hogy megegyező végpontú görbék mentén a komplex vonalintegrál megegyezik, azaz, ha $\gamma_1,\gamma_2$ két görbe, és $\gamma_1(0)=\gamma_2(0),\gamma_1(1)=\gamma_2(1)$ , akkor

$\int_{\gamma_1}f(z)dz=\int_{\gamma_2}f(z)dz$

Példák [szerkesztés]

Holomorf a teljes komplex síkon az identikus leképezés, azaz a $z\mapsto z$ függvény.

A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy differenciálható függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex polinomfüggvény is differenciálható a teljes komplex síkon.

Megmutatható, hogy minden komplex hatványsor differenciálható a konvergenciahalmazának belsejében. Ebből következik, hogy az

$\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$

határértékkel definiált exponenciális függvény differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valós esetben megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt $2\pi$ -vel periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha $z_{1}-z_{2}=2n\pi i$ , akkor $\exp(z_1)=\exp(z_2)$ . Ebből következik, hogy inverzét, tehát a logaritmus-függvényt nem tudjuk az egész komplex síkon értelmezni. Ezért minden komplex logaritmusnál meg kell állapodni az értelmezési tartományban! Egy lehetséges konstrukció a következő:

$\Omega=\mathbb{{C}}\setminus\{a+bi:a \leq 0, b=0\}$

$\log z=\log|z|+i\arg z\ (-\pi<\arg z<\pi)$

A koszinusz- és szinusz-függvény holomorf a komplex síkon, komplex esetben a következőképp definiáljuk őket:

$\cos z=\frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}$

$\sin z=\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}$

Ellenpéldák [szerkesztés]

Nem holomorf a konjugálás operátor: $z \mapsto \overline{z}$
Nem holomorf a valósrész-képzés operátor: $a + bi = z \mapsto \Re(z) = a$

Tulajdonságok [szerkesztés]

A holomorf függvények folytonosak, létezik primitív függvényük és végtelen sokszor folytonosan differenciálhatóak. Holomorf függvények kompozíciója, lineáris kombinációja, szorzata holomorf. Két holomorf függvény hányadosa differenciálható azokban a pontokban, ahol a nevező nem nulla.

Legyen $z_0\in\Omega$ és $r=\sup\{d\in\mathbb{{R}}: |z-z_0|<d\Rightarrow z\in\Omega\}$ , azaz a legnagyobb nyílt körlap sugara, amely még elfér $\Omega$ -ban. Ekkor ha $f$ holomorf az $\Omega$ -ban, akkor létezik a $z_0$ körüli Taylor-sora, melynek konvergencia-sugara éppen $r$ , és ott előállítja a függvényt.

Maximum elv: Egyszeresen összefüggő nyílt tartományon értelmezett nemkonstans holomorf függvény abszolút értékének csak a tartomány szélén lehet lokális maximuma.

Liouville tétele: Egy az egész komplex síkon holomorf függvény pontosan akkor korlátos, ha konstans.

Rouché tétele: Legyen adva egy $\gamma$ Jordan-görbe, és legyen $\Omega$ ennek a belseje. Tegyük fel, hogy $f,g:\Omega\to\mathbb{{C}}$ két holomorf függvény, melyek folytonosak $\overline{\Omega}$ -n, valamint tegyük fel, hogy minden $z\in\gamma$ pontra fennáll: $|g\left(z\right)|>|f(z)-g(z)|$ . Ekkor a két függvénynek ugyanannyi gyöke van $\Omega$ -ban multiplicitással, azaz a többszörös zérushelyeket annyiszor számolva, ahányszoros gyökök.