Holomorf függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A holomorf függvény a komplex analízis egy fogalma. A nyílt halmazon értelmezett, komplex értelemben differenciálható komplex függvényeket nevezzük holomorfnak.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Szokás reguláris függvény néven is hivatkozni rá.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1. Definíció: Legyen adva az \Omega \subseteq \mathbb{{C}} nyílt halmaz, és az f:\Omega \to \mathbb{C} leképezés. Ezt akkor mondjuk holomorf függvénynek, ha minden z_0\in\Omega pontban létezik a következő határérték

\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.

Ezt a határértéket az f függvény z0-beli (komplex) deriváltjának nevezzük, és f'(z0)-lal jelöljük.

2.Definíció: f holomorf, ha előáll z_0 pont r-sugarú (alkalmasan választott r-rel) környezetében a következő alakban:

f(z)=f(z_0)+A(z-z_0)+\varepsilon_{z_0,r}(z)

ahol A komplex szám (természetesen függ z_0-tól), \varepsilon_{z_0,r} pedig úgynevezett kisrendű függvény, azaz

\lim_{z\to z_0}\frac{\varepsilon_{z_0,r}(z)}{z-z_0} = 0

Ekkor A=f'(z0).

3. Definíció: f holomorf egy tartományban, ha minden a tartomány belsejében fekvő zárt görbén vett komplex vonalintegrálja eltűnik, azaz igaz a következő összefüggés:

\oint f(z)dz=0

Ez egyébként ekvivalens azzal, hogy megegyező végpontú görbék mentén a komplex vonalintegrál megegyezik, azaz, ha \gamma_1,\gamma_2 két görbe, és \gamma_1(0)=\gamma_2(0),\gamma_1(1)=\gamma_2(1), akkor

\int_{\gamma_1}f(z)dz=\int_{\gamma_2}f(z)dz

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Holomorf a teljes komplex síkon az identikus leképezés, azaz a  z\mapsto z függvény.

A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy differenciálható függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex polinomfüggvény is differenciálható a teljes komplex síkon.

Megmutatható, hogy minden komplex hatványsor differenciálható a konvergenciahalmazának belsejében. Ebből következik, hogy az

\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}

határértékkel definiált exponenciális függvény differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valós esetben megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt 2\pi-vel periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha  z_{1}-z_{2}=2n\pi i, akkor \exp(z_1)=\exp(z_2). Ebből következik, hogy inverzét, tehát a logaritmus-függvényt nem tudjuk az egész komplex síkon értelmezni. Ezért minden komplex logaritmusnál meg kell állapodni az értelmezési tartományban! Egy lehetséges konstrukció a következő:

\Omega=\mathbb{{C}}\setminus\{a+bi:a \leq 0, b=0\}
\log z=\log|z|+i\arg z\ (-\pi<\arg z<\pi)

A koszinusz- és szinusz-függvény holomorf a komplex síkon, komplex esetben a következőképp definiáljuk őket:

\cos z=\frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}
\sin z=\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}

Ellenpéldák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Nem holomorf a konjugálás operátor: z \mapsto \overline{z}
  • Nem holomorf a valósrész-képzés operátor:  a + bi = z \mapsto \Re(z) = a

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A holomorf függvények folytonosak, létezik primitív függvényük és végtelen sokszor folytonosan differenciálhatóak. Holomorf függvények kompozíciója, lineáris kombinációja, szorzata holomorf. Két holomorf függvény hányadosa differenciálható azokban a pontokban, ahol a nevező nem nulla.

Legyen z_0\in\Omega és r=\sup\{d\in\mathbb{{R}}: |z-z_0|<d\Rightarrow z\in\Omega\}, azaz a legnagyobb nyílt körlap sugara, amely még elfér \Omega-ban. Ekkor ha f holomorf az \Omega-ban, akkor létezik a z_0 körüli Taylor-sora, melynek konvergencia-sugara éppen r, és ott előállítja a függvényt.

Maximum elv: Egyszeresen összefüggő nyílt tartományon értelmezett nemkonstans holomorf függvény abszolút értékének csak a tartomány szélén lehet lokális maximuma.

Liouville tétele: Egy az egész komplex síkon holomorf függvény pontosan akkor korlátos, ha konstans.

Rouché tétele: Legyen adva egy \gamma Jordan-görbe, és legyen \Omega ennek a belseje. Tegyük fel, hogy f,g:\Omega\to\mathbb{{C}} két holomorf függvény, melyek folytonosak \overline{\Omega}-n, valamint tegyük fel, hogy minden z\in\gamma pontra fennáll: |g\left(z\right)|>|f(z)-g(z)|. Ekkor a két függvénynek ugyanannyi gyöke van \Omega-ban multiplicitással, azaz a többszörös zérushelyeket annyiszor számolva, ahányszoros gyökök.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002)