Komplex függvény

A matematikában komplex függvénynek nevezünk egy leképezést, ha értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a komplex sík részhalmaza. Elsősorban a komplex analízis foglalkozik a komplex függvények jellemzésével.

Elemi tulajdonságok

• Komplex függvények összege, különbsége, szorzata is komplex függvény az értelmezési tartományok metszetén.
• Komplex függvények hányadosa is komplex függvény, de természetesen csak ott értelmezett, ahol a nevező nem nulla.
• Komplex függvények kompozíciója is komplex függvény.

Példák

Elemi

Feltehetően a legegyszerűbb példák a valósrész és a képzetesrész operátorok, melyeket leggyakrabban Re illetve Im névvel illetnek:

$a + bi = z \mapsto Re(z) = a$

$a + bi = z \mapsto Im(z) = b$

A konjugátképzés is az elemibb komplex függvények közé tartozik:

$a + bi = z \mapsto \overline{z} = a - bi$

Az elforgatás operátor a komplex számnak megfelelő síkvektort forgatja el az origó körül:

$rot_\gamma(z) = z e^{i\gamma}$

Komplex szám abszolútértéke valós szám, de a valós számok halmaza beágyazható a komplex számsíkba, így az abszolútértékképzés is tekinthető komplex függvénynek:

$a + bi = z \mapsto | z | = \sqrt{a^2 + b^2}$

Algebrai

A komplex számok halmazán értelmezett aritmetikai műveletek (összeadás, kivonás, osztás és szorzás) segítségével is értelmezhetőek komplex függvények.

Központi szerepet játszanak a polinomfüggvények, melyek általános alakban a következő képlettel adhatóak meg:

$f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \dots + a_n z^n$

Polinomfüggvények hányadosait racionális függvényeknek hívjuk. Ezek általános alakja a következő:

$f(z) = { a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \dots + a_n z^n \over b_0 + b_1 z + b_2 z^2 + \dots + b_m z^m}$

Lásd még

• Komplex függvények színkörös ábrázolása
• Holomorf függvény
• Meromorf függvény

Irodalom

• Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002)