Határérték

A matematika területén a határérték (limesz) fogalmát használják egy függvény tulajdonságának a leírására, ahogy az argumentuma egyre közelebb kerül valamilyen véges értékhez vagy végtelenhez; vagy egy sorozat viselkedésének leírására, ahogy az indexe végtelenhez tart. A matematikai analízis szinte teljes egészében határérték fogalmára épül (például integrálszámítás, differenciálszámítás esetében). A latin limes szóból lim-ként rövidítik.

A „határérték” fogalmát általánosabban lehet megfogalmazni a topológia, illetve a kategóriaelmélet eszközeivel.

Sorozat határértéke

A {1.79, 1.799, 1.7999,…} sorozatról intuitívan megállapítható, hogy a számok egyre „közelítenek” 1.8-hez. Ezt az intuitív gondolatot fogalmazza meg formálisan a sorozat határértékének fogalma.

Legyen adott az x₁, x₂, … valós számokból álló sorozat. A valós A szám a sorozat határértéke, pontosan akkor, ha minden ε>0 esetén létezik olyan N(ε) (ε-tól függő) természetes szám, melyre minden n>N(ε) esetén |x_n – A| < ε.

Jelölése: $\lim_{n \to \infty} x_n = A$

Hasonlóan definiálható a több koordinátával jellemezhető pontsorozatok határértéke. Egy pontsorozat pontosan akkor konvergens, ha az egyes koordinátái által alkotott számsorozatok konvergensek. Például az (a_i,b_i) pontsorozat konvergenciája ekvivalens az a_i és a b_i sorozatok konvergenciájával.

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy tetszőlegesen közel kerül a sorozat eleme a határértékhez azáltal, hogy elég nagy indexű elemet választunk, hiszen az |x_n – A| abszolút érték az x_n és A „távolságaként” is felfogható. Ha létezik olyan tulajdonságú A szám, ami a fenti definíciónak megfelel, akkor a sorozatot konvergensnek nevezik, ha pedig nem, akkor divergensnek. Bebizonyítható, hogy legfeljebb egy ilyen szám létezhet, így a $\lim_{n \to \infty} x_n$ jelölés és a „határérték” megnevezés egyértelmű.

A sorozat és a függvény határértékének a fogalma szoros kapcsolatban áll egymással. A két fogalom egymás definiálására is felhasználható, de értelmezhetők külön-külön is. Az x_n sorozat határértékét a pozitív egészek halmazán értelmezett f(n)=x_n függvény végtelenben vett határértékeként is definiálhatjuk, míg a függvény határértéke definiálható a sorozat határértékének felhasználásával: f függvény határértéke A helyen akkor létezik, ha az f(x_n) sorozat konvergens és azonos határértékű bármely olyan x_n A határértékű konvergens sorozat esetén, amely a függvény értelmezési tartományából vesz fel értékeket. Ekkor az f(x_n) sorozat egyértelmű határértéke lesz a függvény A helyen vett határértéke.

Tulajdonságok

Ha az a_i és a b_ivalós sorozat is konvergens, akkor az a_i+b_i, a_i-b_i, a_i·b_i sorozatok is konvergensek, és határértékük a megfelelő művelettel kapható a határértékekből. Ha a b_i sorozat véges sok nullát tartalmaz, és nem tart nullához, akkor hasonló teljesül az a_i/b_i sorozatra is. Ezek a pontsorozatokra is érvényesek, ha a műveleteket koordinátánként végezzük.

A konvergens valós szám- és pontsorozatokra teljesül a Cauchy-tulajdonság, ami azt mondja ki, hogy a sorozat távoli elemei is közel vannak egymáshoz. Formálisan, az a_n sorozat konvergens, ha minden ε-hoz van olyan n₀, hogy minden n,m > n₀-ra |a_n-a_m|<ε. Megfordítva, minden valós Cauchy-sorozat konvergens. Más terekben ez nem feltétlenül igaz; ahol viszont igen, azt a teret teljesnek mondjuk.

A mértani sorozatok konvergensek, és határértékük 0, ha hányadosuk abszolútértéke egynél kisebb. Ha a hányados 1, akkor a konvergencia teljesül, de a határérték már mástól függ. Az egynél kisebb hányadosú sorozatokból részösszegekkel képzett sorok is konvergensek; határéréküket sorösszegnek is nevezik. Ez a határérték egyszerűen számítható a

$\lim\sum_{i=0}^n q^i=\frac{1}{1-q}$

összefüggés felhasználásával.

A konvergens sorozatok tulajdonságai kritériumokat adnak arra, hogy belássuk, hogy a sorozat nem konvergens. Szintén vannak kritériumok a sorozat konvergens voltára. Nincs mindig szükség a határérték kiszámítására.

Függvényhatárérték

Határérték véges pontban

Feltéve, hogy f(x) valós függvény és c valós szám. A

$\lim_{x \to c}f(x) = A$

kifejezés azt jelenti, hogy f(x) értéke tetszőlegesen közel kerül az A-hoz, ha az x elég közel van c-hez. Ebben az esetben „az f(x) határértéke, ha x tart c-hez, A”. Ez akkor is igaz lehet, ha f(c) $\neq$ A, sőt az f(x) függvénynek nem muszáj értelmezve lennie a c pontban.

Formális definíció

Legyen az $f$ függvény, mely a $c$ egy nyílt környezetében végtelen sok értékre értelmezve van - esetleg c-ben nem - vagyis c egy torlódási pontja a D(f)-nek); és A egy valós szám. A

$\lim_{x \to c}f(x) = A$

jelölés azt jelenti, hogy minden $\varepsilon\ >0$ érték esetén van olyan $\delta\ >0$, melyekre bármely $x$ esetén, ha $0<|x-c|< \delta\$, akkor $| f (x)-A|< \varepsilon\$.

Példák

Vizsgáljuk meg $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ határértékét, ha x tart 2-höz. Ebben az esetben az f(x) definiált a 2 helyen, és egyenlő az ottani 0,4 értékével:

f(1,9)	f(1,99)	f(1,999)	f(2)	f(2,001)	f(2,01)	f(2,1)
0,4121	0,4012	0,4001	$\Rightarrow$ 0,4 $\Leftarrow$	0,3998	0,3988	0,3882

Ha x közelít 3-hoz, akkor f(x) közelít 0,3-hez, azaz $\lim_{x\to 3}f(x)=0,3$. Ezekben az esetkeben, amikor $f(c) = \lim_{x\to c} f(x)$, azt mondjuk, hogy f folytonos az x = c helyen.

De nem minden függvény folytonos. Legyen például a g függvény az alábbi módon értelmezett:

$g(x)=\begin{cases} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{ha }x\ne 2\\0, & \mbox{ha }x=2 \end{cases}$

A g(x) határértéke x tart 2 esetén 0,4 (ahogy az f(x) esetén is), de $\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)$; g nem folytonos x = 2 helyen.

Ábra a formális definícióhoz (c helyett a szerepel az ábrán)

Függvényhatárérték a végtelenben

Van, amikor nem csak a véges helyen vett határértéket kell vizsgálnunk, hanem, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor x tart a pozitív vagy negatív végtelenhez.

Példaként vizsgáljuk az $f(x) = \frac{2x}{x + 1}$ függvényt.

• f(100) = 1,9802
• f(1000) = 1,9980
• f(10000) = 1,9998

Ahogy x nagyon naggyá válik, f(x) közelít 2-höz. Ebben az esetben,

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$

Formálisan, a végtelenben vett határérték definíciója

$\lim_{x \to \infty} f(x) = c$ pontosan akkor, ha minden ε > 0 esetén létezik olyan K valós szám, melyre $|f(x) - c| < \epsilon$ teljesül, ha $x > K$

A mínusz végtelenben vett határérték hasonlóan definiálható.

Forrás

• Császár Ákos: Valós analízis I.