Határérték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematika területén a határérték (limesz) fogalmát használják egy függvény tulajdonságának a leírására, ahogy az argumentuma egyre közelebb kerül valamilyen véges értékhez vagy végtelenhez; vagy egy sorozat viselkedésének leírására, ahogy az indexe végtelenhez tart. A matematikai analízis szinte teljes egészében határérték fogalmára épül (például integrálszámítás, differenciálszámítás esetében). A latin limes szóból lim-ként rövidítik.

A „határérték” fogalmát általánosabban lehet megfogalmazni a topológia, illetve a kategóriaelmélet eszközeivel.

Sorozat határértéke[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az (1,79, 1,799, 1,7999,…) sorozatról intuitívan megállapítható, hogy a számok egyre „közelítenek” 1,8-hez. Ezt az intuitív gondolatot fogalmazza meg formálisan a sorozat határértékének fogalma.

Legyen adott az (x1, x2, …) valós számokból álló sorozat. A valós A szám a sorozat határértéke, ha minden ε>0 esetén létezik olyan N(ε) (ε-tól függő) természetes szám, melyre minden n>N(ε) esetén |xnA| < ε.

Jelölése:  \lim_{n \to \infty} x_n = A

Hasonlóan definiálható a több koordinátával jellemezhető pontsorozatok határértéke. Egy pontsorozat pontosan akkor konvergens, ha az egyes koordinátái által alkotott számsorozatok konvergensek. Például az (ai,bi) pontsorozat konvergenciája ekvivalens az ai és a bi sorozatok konvergenciájával.

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy tetszőlegesen közel kerül a sorozat eleme a határértékhez azáltal, hogy elég nagy indexű elemet választunk, hiszen az |xnA| abszolút érték az xn és A „távolságaként” is felfogható. Ha létezik olyan tulajdonságú A szám, ami a fenti definíciónak megfelel, akkor a sorozatot konvergensnek nevezik, ha pedig nem, akkor divergensnek. Bebizonyítható, hogy legfeljebb egy ilyen szám létezhet, így a  \lim_{n \to \infty} x_n jelölés és a „határérték” megnevezés egyértelmű.

A sorozat és a függvény határértékének a fogalma szoros kapcsolatban áll egymással. A két fogalom egymás definiálására is felhasználható, de értelmezhetők külön-külön is. Az xn sorozat határértékét a pozitív egészek halmazán értelmezett f(n)=xn függvény végtelenben vett határértékeként is definiálhatjuk, míg a függvény határértéke definiálható a sorozat határértékének felhasználásával: f függvény határértéke A helyen akkor létezik, ha az f(xn) sorozat konvergens és azonos határértékű bármely olyan xn A határértékű konvergens sorozat esetén, amely a függvény értelmezési tartományából vesz fel értékeket. Ekkor az f(xn) sorozat egyértelmű határértéke lesz a függvény A helyen vett határértéke.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az ai és a bivalós sorozat is konvergens, akkor az ai+bi, ai-bi, ai·bi sorozatok is konvergensek, és határértékük a megfelelő művelettel kapható a határértékekből. Ha a bi sorozat véges sok nullát tartalmaz, és nem tart nullához, akkor hasonló teljesül az ai/bi sorozatra is. Ezek a pontsorozatokra is érvényesek, ha a műveleteket koordinátánként végezzük.

A konvergens valós szám- és pontsorozatokra teljesül a Cauchy-tulajdonság, ami azt mondja ki, hogy a sorozat távoli elemei is közel vannak egymáshoz. Formálisan, az an sorozat konvergens, ha minden ε-hoz van olyan n0, hogy minden n,m > n0-ra |an-am|<ε. Megfordítva, minden valós Cauchy-sorozat konvergens. Más terekben ez nem feltétlenül igaz; ahol viszont igen, azt a teret teljesnek mondjuk.

A mértani sorozatok konvergensek, és határértékük 0, ha hányadosuk abszolút értéke egynél kisebb. Ha a hányados 1, akkor a konvergencia szintén teljesül. Az egynél kisebb hányadosú sorozatokból részösszegekkel képzett sorok is konvergensek; határértéküket sorösszegnek is nevezik. Ez a határérték egyszerűen számítható a

\lim\sum_{i=0}^n q^i=\frac{1}{1-q}

összefüggés felhasználásával.

A konvergens sorozatok tulajdonságai kritériumokat adnak arra, hogy belássuk, hogy a sorozat nem konvergens. Szintén vannak kritériumok a sorozat konvergens voltára. Nincs mindig szükség a határérték kiszámítására.

Függvényhatárérték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Határérték véges pontban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Feltéve, hogy f(x) valós függvény és c valós szám. A

 \lim_{x \to c}f(x) = A

kifejezés azt jelenti, hogy f(x) értéke tetszőlegesen közel kerül az A-hoz, ha az x elég közel van c-hez. Ebben az esetben „az f(x) határértéke, ha x tart c-hez, A”. Ez akkor is igaz lehet, ha f(c) \neq A, sőt az f(x) függvénynek nem muszáj értelmezve lennie a c pontban.

Formális definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen az f függvény, mely a c egy nyílt környezetében végtelen sok értékre értelmezve van - esetleg c-ben nem - vagyis c egy torlódási pontja a D(f)-nek); és A egy valós szám. A

 \lim_{x \to c}f(x) = A

jelölés azt jelenti, hogy minden  \varepsilon\ >0 érték esetén van olyan  \delta\ >0, melyekre bármely  x esetén, ha 0<|x-c|< \delta\ , akkor | f (x)-A|< \varepsilon\ .


Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vizsgáljuk meg  f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} határértékét, ha x tart 2-höz. Ebben az esetben az f(x) definiált a 2 helyen, és egyenlő az ottani 0,4 értékével:

f(1,9) f(1,99) f(1,999) f(2) f(2,001) f(2,01) f(2,1)
0,4121 0,4012 0,4001 \Rightarrow 0,4 \Leftarrow 0,3998 0,3988 0,3882

Ha x közelít 3-hoz, akkor f(x) közelít 0,3-hez, azaz \lim_{x\to 3}f(x)=0,3. Ezekben az esetkeben, amikor f(c) = \lim_{x\to c} f(x), azt mondjuk, hogy f folytonos az x = c helyen.

De nem minden függvény folytonos. Legyen például a g függvény az alábbi módon értelmezett:

g(x)=\begin{cases} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{ha }x\ne 2\\0, & \mbox{ha }x=2 \end{cases}

A g(x) határértéke x tart 2 esetén 0,4 (ahogy az f(x) esetén is), de \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2); g nem folytonos x = 2 helyen.

Ábra a formális definícióhoz (c helyett a szerepel az ábrán)

Függvényhatárérték a végtelenben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Van, amikor nem csak a véges helyen vett határértéket kell vizsgálnunk, hanem, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor x tart a pozitív vagy negatív végtelenhez.

Példaként vizsgáljuk az f(x) = \frac{2x}{x + 1} függvényt.

  • f(100) = 1,9802
  • f(1000) = 1,9980
  • f(10000) = 1,9998

Ahogy x nagyon naggyá válik, f(x) közelít 2-höz. Ebben az esetben,

 \lim_{x \to \infty} f(x) = 2

Formálisan, a végtelenben vett határérték definíciója

 \lim_{x \to \infty} f(x) = c pontosan akkor, ha minden ε > 0 esetén létezik olyan K valós szám, melyre |f(x) - c| < \epsilon teljesül, ha  x > K

A mínusz végtelenben vett határérték hasonlóan definiálható.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Császár Ákos: Valós analízis I.