Divergens sorozat

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy sorozat divergens, ha minden számhoz létezik olyan környezet, melyben minden küszöbindex után van egy olyan sorozatelem, mely nincs benne a környezetben. Más megfogalmazásban, egy sorozat divergens, ha nem konvergens.

Matematikai definíciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Metrikus terekben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(K, d) metrikus tér

a_n \in K, n \in \mathbb{N} mely szerint a \ tehát K \ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

\forall {\alpha \in K }  \ \exist {\epsilon > 0} \ \forall n_0 \in \mathbb{N} \ \exist n \in \mathbb{N} :( n > n_0 \ \and d \left( a_n , \alpha \right) > \epsilon)

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Számtestekben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

K számtest

a_n \in K, n \in \mathbb{N} mely szerint a \ tehát K \ elemeiből alkotott sorozat

ha a következő teljesül:

\forall {\alpha \in K }  \ \exist {\epsilon > 0} \ \forall n_0 \in \mathbb{N} \ \exist n \in \mathbb{N} :( n > n_0 \ \and \mid a_n - \alpha \mid > \epsilon)

akkor a sorozat divergens, és nincs határértéke.

Megjegyzés: minden K számtest metrikus tér a  d(a,b) \ := \ \mid a - b \mid metrikával, ahol az |a-b| függvény az a,b elemek különbségének abszolútértéke; azaz |x| := {z∈K | (z=x ∨ z=-x) ∧ z>0 }.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

{ n \in \mathbb{N} },{ a_n \in \mathbb{R} }

a_n = {(-1) ^ n \ }

ennek a sorozatnak minden páros eleme 1 minden páratlan eleme -1

a_n = n \

ennek a sorozatnak nincs határértéke \mathbb{R} \ -ben.

Megjegyzések, tételek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Valós számsorozat lényegében kétféleképpen lehet nem konvergens. Vagy azért divergens, mert nem egy, hanem több érték körül csoportosul a sorozat elemei (például az a_n = (-1)^n sorozat az 1 és a −1 értékeket is végtelen sokszor felveszi), az ilyen tipusú sorozatra azt mondjuk, hogy oszcillálva divergál. A másik lehetőség, mikor a sorozat elemei minden határon túl nőnek, tehát nem korlátos a sorozat. Ha egy an sorozatra igaz, hogy bármely 0 < N-re található olyan n0 küszöbszám, hogyha n > n0 akkor an > N, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat a plusz végtelenbe divergál. Ha a kibővített valós számok felett tekintünk erre a sorozatra, akkor a plusz végtelenbe konvergál kifejezést is használhatjuk. Például

 \lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty

A mínusz végtelenbe divergálást (konvergálást) hasonlóan értelmezzük.