Differenciálszámítás

Egyváltozós függvényrajz (feketével), és ennek érintője (vörössel) a piros körrel jelzett pontban. Az érintő meredeksége megegyezik az adott pontban számított deriválttal. A képen az érintő lejt, így az itteni derivált egy negatív szám.

A differenciálszámítás a matematikai analízis egyik legfontosabb módszere, a (valós vagy komplex értékű) függvények hogyan változnak néhány (esetleg az összes, de legalább egy) független változó változására. Ennek jellemzésére a differenciálszámítás elsődleges fontosságú fogalma, a derivált szolgál.

Egyváltozós valós-valós függvénynél (valós számokhoz valós számokat rendelünk, síkban többnyire ábrázolható) a pontbéli derivált egyenlő az adott pontban húzott érintő meredekségével (kivétel ez alól az inflexiós pont). Általánosságban egy függvény deriváltja megmutatja az adott függvény tárgyalt pontjában való legjobb lineáris közelítését.

A derivált megkeresésének folyamatát nevezzük differenciálásnak. Bizonyítható, hogy a differenciálás az integrálás inverz művelete.

A differenciálszámítást a természettudományok túlnyomó részében használjuk. Például a fizikában egy testre vonatkozó helyvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltja a sebesség. Newton második mozgási törvénye értelmében egy adott testre ható erővektorok algebrai összegének időfüggvénye egyenlő a testre vonatkozó impulzusvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltjával. A kémiában a reakcióidőket, az operációkutatásban a gazdaságosságokat, a játékelméletben megfelelő stratégiákat lehet meghatározni vele, de ezeknél természetesen jóval több területen használjuk fel.

A deriváltakat gyakran függvények extrémumainak meghatározására is alkalmazzuk. Függvényegyenletek is tartalmazhatnak deriváltakat, ezeket differenciálegyenleteknek nevezzük. Sok jelenségét le tudunk írni a differenciálszámítás alkalmazásával, általában azokat, melyek folytonos mozgással vagy változásokkal modellezhetőek.

A deriválási tételek, szabályok, tulajdonságok és ezek általánosításai megjelennek még a komplex analízisben, a függvényanalízisben, a differenciálgeometriában, az absztrakt algebrában is, és mind az elméleti, mind az alkalmazott természettudományok ezernyi szegletében.

A derivált

• Az alábbiakban csakis kizárólag egyváltozós, valós explicit függvények differenciálásával fogunk foglalkozni.

Legyen x és y valós szám, és y legyen x függvénye, tehát y = f(x). Az egyik legegyszerűbb függvény a lineáris függvény. Ennek képe egy egyenes. Ekkor y = f(x) = m x + c, ahol m és c valós számok. Itt m határozza meg f(x) meredekségét, c pedig azt, hogy f(x) hol metszi az y tengelyt (leggyakrabban ezt vertikális tengelyként ábrázoljuk). Könnyen belátható, hogy $m=\frac {\mathrm{v\acute{a}ltoz\acute{a}s} ~ y}{\mathrm{v\acute{a}ltoz\acute{a}s} ~ x}={\Delta y \over{\Delta x}} \,$. A Δ a görög delta betű, jelentése itt: "változás". Mivel y + Δy = f(x+ Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx, következik Δy = m Δx.

S bár ez csak lineáris függvényekre igaz, folytonos f függvényt közelíthetünk lineáris függvénnyel.

Elemi függvények deriváltjai

Tételezzük fel, hogy f(x) függvény az értelmezési tartomány egészén folytonos, tehát nincs szakadása, továbbá differenciálható.

Alapfüggvény típusa	Általános jelölése	(elsőrendű) Deriváltja
Konstans függvény	$f (x) = c \quad (c \in R)$	$f ' (x) = 0 \,$
Lineáris függvény	$f (x) = c x \,$	$f ' (x) = c \,$
Hatványfüggvény	$f(x)=cx^n\,$	$f'(x)=cn \cdot x^{n-1}$
Szinusz trig.m.fv.	$f(x)= \sin x \,$	$f'(x)= \sin (\frac{\pi}{2} + k2 \pi)= \cos x$
Koszinusz trig.m.fv.	$f(x)= \cos x \,$	$f'(x)= \sin (\pi+k2 \pi)=- \sin(x) \,$
Exponenciális függvény	$f(x)=c^x \,$	$f'(x)=c^x \cdot \ln c$
Logaritmus függvény	$f(x)=\log_c x = \frac{\ln x}{\ln c}$	$f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln c}$

Inverz- és egyéb további függvények deriváltjairól a Derivált szócikkben olvashatsz.

Differenciálási szabályok

Vannak olyan összetett függvények, melyeket lettek külön megemlítve az elemi függvények deriváltfüggvényei között. Ezek például a két függvény hányadosából előállított függvények. Összetett függvények differenciálásához szükségesek a következő szabályok:

• $\left[ f(x) \pm g(x) \right]' = f'(x) \pm g'(x)$

miszerint, két függvény összegének deriváltján az egyik függvény deriváltjának, valamint a másik függvény deriváltjának összegét értjük.

• $\left[ c\! \cdot \! f(x) \right]' = c \! \cdot \! f'(x)$

tehát, bármely függvény "szorzó-konstansa" kivihető a deriváltjel alól. melyek az integrálási azonosságokhoz hasonlóan adódnak...)

• $\left[ f(x) \cdot g(x) \right]' = f'(x)\! \cdot \! g(x) \; + \; f(x) \! \cdot \! g'(x)$

vagyis, azt mondhatjuk, hogy két függvény szorzatának deriváltja az egyik függvény deriváltjának és a másik függvény szorzatának, valamint az egyik függvény és a másik függvény deriváltjának szorzatának összegével egyenlő.

• $\left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x) \! \cdot \! g(x) \; - \; f(x) \! \cdot \! g'(x)}{g^2(x)}$

avagy, két függvény hányadosának deriváltján (a két függvény szorzatának deriváltjából elindulva) az egyik függvény deriváltjának és a másik függvény szorzatának, valamint az egyik függvény és a másik függvény deriváltjának szorzatának különbségének és a második függvény négyzetének hányadosával egyenlő.

• $\left[ f(x) \circ g(x) \right]' = f'(g(x)) \! \cdot \! g' (x)$ (láncszabály)

azaz, két függvény kompozíciójának deriváltja, egyenlő az első függvény deriváltjával a második függvény értékén, és a második függvény deriváltjának szorzatával egyenlő.

1. példa: a tangensfüggvény deriválása - A részletezés jobbra nyitható!

Határozzuk meg a(z) $f(x) =$tg$x$ trigonometrikus szögfüggvény deriváltfüggvényét!

Köztudott, hogy a tangens trigonometrikus függvény összetett függvény, mivel a szinusz- és a koszinuszfüggvények hányadosából áll elő. Ezen ismeret felhasználásával állapítsuk meg $f'(x)$-et!

$f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

$f'(x) = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' = \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x(\cos x)'}{\cos^2 x}$

$f'(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + 1-\cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$

Ennek alapján kijelenthető, hogy:

$g(x) = \cot x \,$

$g'(x) = \frac{-1}{\sin^2 x}$

A differenciálszámítás gyakorlati alkalmazása

Analízis

Legyen adott az f(x) = x³+8x²+16x harmadfokú függvény. Elemezzük ezt a függvényt az alábbi szempontok alapján:

• /Függvénytípus meghatározása (a függvénycsalád definiálása)/
• Értelmezési tartomány
• Értékkészlet
• Zérushely(ek)
• Határérték
• Szélsőértékek (extrémumok)
• Monotonitás
• Inflexiós pont(ok)
• Konvexitás
• Sajátos függvényvonások: paritás (és szimmetria), aszimptoták.

Függvénytípus: Egyváltozós explicit-, algebrai-, harmadfokú függvény.

Értelnezési tartomány:

D_f: ∀x ∈ R;

Értékkészlet:

R_f: ∀y ∈ R;

Zérushely(ek):

A zérushelyek megállapításához meg kell oldanunk a követkető harmadfokú egyenletet:

x³+8x²+16x = 0

x(x²+8x+16) = 0 (kiemeltünk x-et)

Ebből a megoldások: x₁= 0 és x₂= -4

Határérték(ek):

$\lim_{x\rightarrow +\infty} x^3+8x^2+16x = +\infty$

$\lim_{x\rightarrow -\infty} x^3+8x^2+16x = -\infty$

(tehát a függvénynek az értelmezési tartomány egészén nincs határértéke /az x ∈ R intervallumon/.)

Extrémumok (lokális szélsőértékek):

Bármely függvény (lehetséges!) szélsőértékeinek helyét a függvény első deriváltjának zérushelye(i) adja, lássuk:

$f'(x)= 3x^2+16x+16$

$3x^2+16x+16 = 0$

x₁ = -1⅓;

x₂ = -4.

Hogy melyik x lesz a minimum és maximum hely, azt az f(x)-be történő behelyettesítés után kapott érték után tudjuk egyértelműen eldönteni (a kapott x-eket helyettesítsük be f(x)-be!):

y₁ = 0; [x₂]

y₂ = (-1⅓)³+8(-1⅓)²+16(-1⅓) = -256/27 ≈ -9,4815; [x₁]

Tehát: x₂ > x₁

Így:

x_max = -4; x_min = -1⅓.

Ha az első derivált 0, még mindig elképzelhető, hogy a függvénynek azon a helyen nincs sem lokális minimuna, sem lokális maximuma, például a g(x)=x³ függvény deriváltja a 0 helyen: $\frac{d}{dx}x^3\Bigg|_{x=0}=0$, pedig nincs szélsőérték.

Monotonitás:

A monotonitás meghatározásához többféle kalkulus módszert és/vagy tételt alkalmazhatunk, mi azonban használjuk fel azt, hogy az extrémumok meghatározása után vagyunk, s tudunk következtetést mondani a függvény egyszerűsége miatt a függvény monotonitására a páratlan kitevős algebrai függvény grafikonja és a lokális szélsőértékek miatt:

f(x) függvény extrémumai(x):

x_max = -4; x_min = -1⅓; tehát tekintsük ezen pontok halmazait monotonitás szempontjából:

• Az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő az x ∈ ]-∞; -4[ ∪ ]-1⅓; +∞[.

• Az f(x) függvény szigorúan monoton csökkenő ugyanezen valós számhalmaz komplementerén, azaz: x ∈ ]-4; -1⅓ [.

Inflexiós pontok (konvexitás határok): Bármely függvény inflexiós pontja(i)nak helyét a függvény második deriváltjának zérushelye(i) adja meg:

f"(x)= 6x+16 6x+16 = 0. x = -16/6.

Az inflexiós pont (IP) koordinátái: IP(-16/6; -256/54).

Figyeljünk arra, hogy inflexiós pont sem mindig létezik, csak ha $f'''(x_0) \neq 0$, tehát a harmadik deriváltnak zérustól különbözőnek kell lennie. Vannak azonban olyan esetek, amikor ennek ellenére mégis van zérushelye a függvénynek (pl. az f(x)=x·|x|, mivel e függvény inflexiós pontja: IP(0; 0)).

Konvexitás:

Az inflexiós pontnak és a függvény grafikonjának megsejtésének köszönhetően megmondhatjuk, hogy a függvény hol konvex ill konkáv:

• Az f(x) függvény konvex az x ∈ ]-∞ ; -16/6 [ intervallum egészén;

• Az f(x) függvény konkáv az x ∈ ]-16/6 ; +∞ [ intervallum egészén.

Koordinátageometria

Lineáris közelítés: Legyen adott f függvény. Ekkor f-nek az x0 abszcisszájú pontjába húzható érintőjének egyenlete: y = f(x0)+f'(x0)(x-x0). Tekintsük az f(x)=x² algebrai polinom függvényt, valamint x0=4 pontját. Ekkor f-nek az x0 abszcisszájú pontjába húzható érintő egyenes egyenlete esetünkben: y = 16 + 8(x-4), azaz: 8x - y = 16. Megj.: minden lineáris és konstans függvény érintője önmaga (∀x∈R -ben)

Simulókör egyenlete:

Ívdifferenciál kiszámítása. A függvények differenciáljának definícóját felhasználva: r = √1+y'².

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek megoldása és megoldhatósága, nevezetes és közönséges differenciálegyenletek és problémák.

Egyéb analitikus területek

Középérték tétel: Legyen adott az f függvény, amelyre teljesül, hogy folytonos az [a, b] intervallumon, valamint differenciálható az ]a, b[ intervallumon. Ekkor ∃c∈]a, b[, hogy azt mondhatjuk: [f(b)-f(a)]:(b-a) = f'(c).

Függvények közelítő értéke: Legyen adott f függvény, melynek x0 helyen vett helyettesítési értékét nem, vagy csak feltételesen, illetve legtöbbször csak hosszú munkával tudnánk kiszámítani. Ekkor az f(x0+t) helyettesítési értéket a differenciálszámítás tulajdonságát kihasználva felbontással úgy kapjuk, hogy: f(x0+t) = f(x0)+f'(x0)t (feltéve, hogy t minimális). Számítsuk ki f=√1000 értékét! Nyilvánvaló, hogy 1024-et könnyen meg tudjuk mondani kettő egész kitevős hatványaként: 2¹⁰, mely 1000-hez kellően közeli környezetében van. Ekkor a képletet felhasználva: f(1024-24)=32+(1/2·32)·(-24) ≈ 31,62.

Források

• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 3-4., Thomas-féle Kalkulus I., 2. kiadás (magyar nyelven), Typotex: Budapest. ISBN 978 963 2790 114 (2006)