Aszimptota

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az aszimptota a matematikában egy olyan görbét, többnyire egyenest jelent, ami egy görbét határértékben megközelít, de nem éri el. Az aszimptota fogalma nem egységes: egyaránt beszélnek görbék és függvények aszimptotáiról.

Az aszimptota ἀσύμπτωτος görög eredetű, eredeti jelentése: nem egybeeső, nem egyező. Alapigéje συμπίπτειν, egybeesni, megegyezni, σύν (szün) együtt, egyszerre, πίπτειν esni.

Görbe aszimptotája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A görbék az n-dimenziós tér, többnyire az euklideszi sík egydimenziós részhalmazai. Matematikai definíciójuk szerint ezek a görbék utak, legfeljebb megszámlálható sok helyen szakadó függvények, algebrai görbék grafikonjai. Ha egy grafikon hozzásimul egy egyeneshez, akkor az az egyenes a görbe aszimptotája.

Az e egyenes aszimptotája a γ görbének, ha a végtelenben tetszőlegesen megközelíti. Ez pontosabban azt jelenti, hogy ha egy P pont végigfut az e egyenesen, akkor P γ-tól mért távolsága a nullához tart. Formálisan:

\lim_{P\in e,|P|\to\infty} d(P,\gamma) = 0

ahol P és γ távolsága a P és a γ pontjai közötti távolságok infimuma:

d(P,\gamma) := \inf_{Q\in \gamma} d(P,Q)

Algebrai görbe aszimptotája a projektív szemlélet szerint a következőképpen értelmezhető:

Az aszimptota a végtelenben vett érintő.

Függvény aszimptotája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A függvény aszimptotája egy olyan grafikon, többnyire egyenes, ami a függvény grafikonját tetszőlegesen megközelíti. A függvény elemzése közben ki kell térni az aszimptotákra is.

Rendszerint olyan függvények aszimptotáit keresik, ahol a függvény a valós számok egy részhalmazából a valós számok halmazába képez.

Az aszimptotáknak két típusuk van aszerint, hogy a függvény az x vagy az y tengely irányában közeledik-e hozzá.

Közeledés az y tengely irányába[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az f függvénynek pólusa van t-ben, vagyis

\lim_{x\nearrow t} f(x) = \pm\infty\,\, vagy \,\,\lim_{x\searrow t} f(x) = \pm\infty,

akkor x = t az f függvény függőleges aszimptotája.

Közeledés az x tengely irányába[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha f, mint x függvénye a valós h számhoz tart a végtelenben, formálisan

\lim_{x\to \infty} f(x) = h,

akkor az y = h egyenes f vízszintes aszimptotája. Hasonló teljesül, ha x \to -\infty.

Ha a p: RR egyenes határértékben megközelíti az f függvényt, azaz

\lim_{x\to\infty} [f(x)-p(x)] = 0 vagy \lim_{x\to-\infty} [f(x)-p(x)] = 0,

akkor p f ferde aszimptotája.

Ez a háromféle aszimptota együttesen megfelel a görbék aszimptotájának.

A ferde aszimptota fogalmát sokszor általánosítják, az egyenesek mellett még más közelítőgörbéket is megengedve. Így tekintenek polinomgörbéket aszimptotáknak. Ha f = g/h algebrai törtfüggvény, akkor f-nek mindig van ilyen értelemben vett aszimptotája: az a polinom, ami a g/h osztáskor keletkezik. Az aszimptotától mért függőleges távolság változását a valódi törtlineáris rész adja meg. Emellett y = 0 vízszintes aszimptota.

A polinomokon kívül más függvények is tekinthetők aszimptotának, feltéve, ha kielégítik a határérték-feltételt. Alkalmazás szempontjából hol az egyik, hol a másik hasznosabb.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az


  f_1(x) = \frac{1}{x}

függvénynek (lásd hiperbola) pólushelye, azaz függőleges aszimptotája van x = 0-ban, és van y = 0 vízszintes aszimptotája is.

1/x aszimptotái

Az


  f_2(x) = \frac{x^3-x^2+5}{5x-5} = \frac{x^3-x^2}{5x-5}+ \frac{1}{x-1} 
= \frac{1}{5}x^2 + \frac{1}{x-1}

függvénynek pólusa van x = 1 -ben, és (ha polinomok is megengedettek), akkor p(x) = \frac{1}{5}x^2 közelítő parabolája.

(x^3-x^2+5)/(5x-5) aszimptotái

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]