Helyvektor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a sík vagy a tér egy adott pontjának helyvektora az a vektor, amely a koordináta-rendszer origójából (kezdőpontjából) a pontba mutat. A helyvektor tehát függ attól, hogy a pontot milyen koordináta-rendszerben helyezzük el.

A koordináta-rendszer vagy vonatkoztatási rendszer origója az a pont, amelynek minden koordinátája 0. Egy derékszögű koordináta-rendszerben ez a koordináta-tengelyek metszéspontja.

A helyvektor előállítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kinematikában egy anyagi pontot az r(t) helyvektor jelöli, amely megmutatja a t időpontbeli helyét, elmozdulását. Az r helyvektor a Descartes-féle koordináta-rendszerben:

\mathbf{r} = \mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k},

ahol x(t), y(t), z(t) az r helyvektor koordinátái, i, j, k pedig - az origóban egymásra merőlegesen álló - így a koordináta-rendszert "kifeszítő" egységvektorok. (Egységvektor: 1 egységnyi hosszúságú vektor).

Ennek ismeretében bármikor meghatározható a tömegpont pályája.
(A kinematika a mechanika mozgásokkal foglalkozó része, nem vizsgálja az erőt, amely a mozgásokat befolyásolja, azt a kinetika, a mechanika egy másik részterülete tárgyalja.)

Kísérő triéder[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy felületen vagy görbén történő mozgást pályához kötött koordináta-rendszerben, a kísérő triéderben (más néven "természetes koordináta-rendszer"-ben) ábrázolnak, amit három, egymásra kölcsönösen merőleges egységvektor alkot. Az egységvektorai: t az érintő (tangenciális), n a főnormális és b, a binormális egységvektor.

A kísérő triéder előállítása a következő:

A térgörbe az \mathbf{r}(s) = x(s)\mathbf{i} + y(s)\mathbf{j} + z(s)\mathbf{k} helyvektor, ahol s paraméter a görbe előjeles ívhossza.
A kísérő triéder egységvektorai:
\mathbf{t} = \frac{d\mathbf r}{ds} az éritő (tangenciális, e -vel is jelölhetik),
\mathbf{n} = \frac{d^2\mathbf r}{ds^2} a főnormális és
 \mathbf{b} = \mathbf{t} \times \mathbf{n} a binormális egységvektor (azaz a másik két egységvektor vektoriális szorzata).

A kísérő triéder fogalmának a kinematikában van jelentősége. Pl. a Frenet-formulák, azaz a térgörbe kísérő triédere három egységvektorának az ívhossz (s) szerinti deriváltjait megadó összefüggések:

t′(s) = g(s)n(s),
n′(s) = –g(s)t(s) + c(s)b(s),
b′(s) = –c(s)n(s),

ahol g(s) a görbe görbülete és c(s) a torziója.

A helyvektor deriváltjai (sebességvektor, gyorsulásvektor)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sebességvektor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A helyvektor idő szerinti első deriváltja (differenciálhányadosa) a sebesség (velocitas), jele: v, mértékegysége: méter per szekundum vagy méter per másodperc (m/s).

 \mathbf{v} = {\mathbf\dot{r}}.

A sebességvektor a pálya érintőjének az irányába mutat.

A Descartes-féle koordináta-rendszerben:

\mathbf{v} = \mathbf\dot{r} = \dot{x}(t)\mathbf{i} + \dot{y}(t)\mathbf{j} + \dot{z}(t)\mathbf{k}.

Gyorsulásvektor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyorsulás a helyvektornak az idő szerinti második, a sebességnek pedig az idő szerinti első deriváltja, jele: a (acceleratio), mértékegysége: méter per szekundumnégyzet (másként: méter per másodperc a négyzeten): m/s2 vagy m*s−2:

\mathbf{a} = {\mathbf\ddot{r}} = \mathbf\dot{v}.

Az átlagos gyorsulásvektor iránya megegyezik a Δv sebességváltozás-vektor irányával. Az átlagos gyorsulás független attól, hogyan változik az anyagi pont sebessége a kezdő és végpont között, kizárólag a sebesség vektornak a két pontban felvett értékétől (azok különbségétől) és az időintervallum hosszától függ. Az anyagi pont pillanatnyi gyorsulását az átlaggyorsulás határértéke adja, ha Δt tart a nullához.

További deriváltak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További deriváltakat már nem szoktak keresni. Az ok: az anyagi pontnak a környezetével való kölcsönhatását - az erőt - Nevton II. törvénye a helyvektor második deriváltjával, a gyorsulással kapcsolja össze:

\mathbf{F} = m\mathbf{a},

ahol F az erő, m a tömeg és a a gyorsulás.

A h vektor, a helyvektor idő szerinti harmadik deriváltja például a nagy sebességű íves vasúti pályák geometriai pályáját határozza meg, valamint előidézi a élettani hatásokat, egyben e hatások mértéke is:


\mathbf{h} = \frac{d\mathbf a}{dt} = \overset{...}\mathbf{r} = \overset{...}{x}(t)\mathbf{i} + \overset{...}{y}(t)\mathbf{j} + \overset{...}{z}(t)\mathbf{k}.

Az m vektort, a helyvektor idő szerinti negyedik deriváltját pedig - a vasútnál maradva - a nagy sebességű vasúti pályák geometriai összehasonlító értékelésénél alkalmazzák a mérnökök:


\mathbf{m} = \frac{d\mathbf h}{dt} = \overset{....}\mathbf{r} = \overset{....}{x}(t)\mathbf{i} + \overset{....}{y}(t)\mathbf{j} + \overset{....}{z}(t)\mathbf{k}.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]