Forgatás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A geometriában a forgatás az egybevágósági transzformációk közé tartozik. A síkban pont körüli, a térben tengelyes forgatások léteznek. A síkban forgatás az a transzformáció, amire teljesül, hogy az O középpont körüli forgatás során bármely P pont esetére, ami nem az egyértelmű O középpont a POP1 szög a sík minden pontjára ugyanakkora. A térben forgatás az a transzformáció, ami egy adott egyenesen kívüli P pontot egy olyan P1 pontba viszi, ami a P-n átmenő, az egyenesre merőleges síkban ugyanakkora távolságra fekszik, mint a P pont, és a PCP1 irányított szög ugyanakkora minden ilyen P pontra. A síkban kitüntetett szerepet játszik a 180 fokos forgatás, amit középpontos tükrözésnek is neveznek. Az identitás is felfogható forgatásnak. A síkbeli tengelyes tükrözések a térben kiterjeszthetők forgatássá, amit továbbra is tengelyes tükrözésnek neveznek, és részben hasonló szerepet tölt be, mint a pontra tükrözés a síkban.

Egy sík alakzat elforgatása a szintén pirossal jelölt O. pont körül

Középpontos forgatás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A középpontos forgatásnak a következő tulajdonságai vannak:

  • megadható
    • középpontjával és irányított szögével
    • szögével és egy pont, pont képe párral
    • egy pont, pont képe párral és a középpontjával
  • van egy fixpontja: a középpontja
  • nincs fixegyenese, kivéve ha szöge 360 fok többszöröse (azaz a forgatás az identitás, és ekkor minden egyenes fix)
  • invariáns egyenesei csak akkor vannak, ha szöge 180 fok többszöröse
    • a pontra tükrözés invariáns egyenesei a középponton átmenő egyenesek
  • megtartja a körüljárási irányt
  • a szabályos n-szöget önmagába viszi, ha annak középpontja körül (k/n)x360 fokkal forgat
  • felírható két tengelyes tükrözés szorzataként, melyek tengelyei a középpontban metszik egymást; a forgatás szöge a két egyenes által közrezárt szög kétszerese, iránya pedig a tükrözések sorrendjétől függ
  • hegyesszögű forgatás esetén az egyenesek a forgatás szögét zárják be képükkel
  • a transzformációszorzásban:
    • eltolás és forgatás szorzata forgatás
    • két forgatás szorzata forgatás, ha szögeik összege nem a teljesszög többszöröse; egyébként eltolás

Forgásszimmetria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha van egy pont a síkban, ami körül bizonyos szögekkel elforgatva önmagába megy át. Ilyenek például a szabályos sokszögek, a téglalap, a kör.

Egy síkbeli alakzat középpontosan szimmetrikus, ha van egy pont a síkban, amire tükrözve az alakzat önmagába megy át. Ilyenek például a paralelogrammák, a kör és a páros oldalszámú szabályos sokszögek.

Tengelyes forgatás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Előáll két metsző síkra való tükrözés szorzataként: tengelye a két sík metszésvonala, szöge a két sík által bezárt szög kétszerese
  • Egyértelműen létezik forgatás, amely egy, a tengelyre illeszkedő félsíkot egy adott másik, szintén a tengelyre illeszkedő félsíkba visz
  • A tengelyt metsző egyenesek képe ugyanabban a pontban metszi a tengelyt, mint az eredeti metsző egyenes
  • A tengellyel párhuzamos egyenesek képe is párhuzamos a tengellyel
  • Az ugyanahhoz a tengelyhez tartozó forgatások Abel-csoportot alkotnak
  • A síkbeli tengelyes tükrözések a térben kiterjeszthetők forgatássá
    • Két így kapható forgatás akkor és csak akkor egyezik meg, ha tengelyeik megegyeznek
    • Megkapható két merőleges síkra tükrözéssel
    • A tengely felezőmerőleges minden pont - pont képe szakaszra
    • A tengelyen merőlegesen áthaladó egyenesek invariánsak
    • Három párhuzamos tengelyű ilyen forgatás szorzata is ilyen, és a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető
    • Ezeket a transzformációkat továbbra is tengelyes tükrözésnek nevezik. De ezek, lévén forgatások, irányítástartók. Félfordulatnak is hívják őket.

Forgatások az algebrában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lineáris algebra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sík origó körüli óramutató járásával ellentétes irányú \vartheta szögű forgatása a következő mátrixszal adható meg:

 \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \cos \vartheta & -\sin \vartheta \\ +\sin \vartheta & \cos \vartheta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.

Több dimenzióban a forgatómátrixok olyan antiszimmetrikus alakra hozhatók, amiben ilyen részmátrixok vannak. Ezek a megfelelő síkbeli pont körüli forgatásokat jelzik.

Például három dimenzióban:


R_{x,\vartheta} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos(\vartheta) & -sin(\vartheta) \\
0 & sin(\vartheta) & cos(\vartheta) \\
\end{bmatrix}


R_{y,\vartheta} = \begin{bmatrix}
cos(\vartheta) & 0 & -sin(\vartheta) \\
0 & 1 & 0 \\
sin(\vartheta) & 0 & cos(\vartheta) \\
\end{bmatrix}


R_{z,\vartheta} = \begin{bmatrix}
cos(\vartheta) & -sin(\vartheta) & 0 \\
sin(\vartheta) & cos(\vartheta) & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}

ahol \vartheta az óramutató járásával ellentétes irányú szög az x,y illetve z tengely körüli forgatásokban.

Mindezek a mátrixok négyzetesek, ortogonálisak, és determinánsuk +1. Megfordítva, az ilyen mátrixok forgatómátrixok, azaz a hozzájuk tartozó lineáris leképezés forgatás. Euler tétele szerint a tér minden pozitív ortogonális transzformációja előáll a koordinátatengelyek körüli forgatások szorzataként.

Két és három dimenzióban vannak más reprezentációk is. Síkban komplex számokkal, térben kvaterniókkal is le lehet írni őket.

Csoportelmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az egy középpont körüli forgatások csoportot alkotnak.
  • Egy síkbeli alakzatot önmagába vivő forgatások csoportot alkotnak. Ez az alakzat forgatáscsoportja.

Az ilyen csoportok lehetnek folytonosak vagy diszkrétek. A diszkrét forgatáscsoportok ciklikusak.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]