Görbület

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A görbület matematikai, azon belül geometriai fogalom. Szemléletesen egy sík- vagy térgörbe egyenestől való eltérését, illetve egy térbeli felületnek a síktól való eltérését jellemző számérték.

A görbék és a felületek görbületének definíciója eltérő, az utóbbi az előbbire támaszkodik.

Görbék görbülete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Görbület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gorbulet.jpg

Az ábrán s-sel jelölt görbén irányítást definiálunk, s ennek megfelelően értelmezzük a görbe egy-egy pontjában húzott érintő irányát: érintővektor. A görbe egy BC irányított ívéhez tartozó átlagos görbület (v.ö.: átlagsebesség) a két végponthoz tartozó érintővektorok szögének és az s = BC ívhossznak a hányadosa:

 \vec g = \frac{\Delta\alpha}{\Delta s}

A görbe egy pontjában értelmezett görbület e hányados határértéke, midőn az ívhossz 0-hoz tart (s → 0, azaz C → B).

 \vec g = \lim\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}= \frac{d\alpha}{ds}

Másként fogalmazva: A pontbeli görbület az érintő irányváltozásának a pályamenti sebessége, az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja.

Görbületi sugár, simulókör[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

float

A görbe három (nem egy egyenesbe eső) pontja mindig meghatároz egy síkot (síkgörbe esetén a befoglaló síkot) és e síkban egy kört. Az ú.n. simulókört (görbületi kört) kapjuk, ha a három pont egyetlen pontba konvergál. E kör sugara a görbe adott pontjához tartozó görbületi sugár.

  • A simulókör sugara a görbület reciproka:
 r = \frac {1}{\vec g} \, ,
  • A simulókörök középpontjának mértani helye a görbe evolutája.
  • A görbén egyenletes v pályamenti sebességgel haladó m tömegű testre ható centripetális erő pontonként változó:
\vec F = m \vec g v^2 .
  • Az egyenes vonal görbülete 0, az r sugarú kör görbülete 1/r minden pontban. E két síkgörbe (és csak ezek) állandó görbületűek. A térben ilyen a körhenger felületére illeszkedő, állandó emelkedésű csavarvonal.

A görbület számítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a görbe egy analitikus függvény grafikonja és egyenlete

 y=f(x)\,,

alakban adott, akkor a görbület:

 g=\frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}.


Ha a síkgörbe egyenlete az alábbi parametrikus formában adott:


\begin{cases}
 x=x(t)\\
 y=y(t)
\end{cases}
 g(\theta)= \frac{\dot{x} \ddot{y}-\dot{y} \ddot{x}}{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{3/2}} .

Ha a görbe egyenlete r(\theta)\, polárkoordinátákkal adott, görbülete:

g = \frac{r^2 + 2r'^2 - r r''}{\left(r^2+r'^2 \right)^{3/2}},

ahol a vessző (') a \theta\, szerinti deriváltat jelöli.

A görbe egyenlete megadható parametrikus polárkoordinátákkal is:


\begin{cases}
 r=r(t)\\
 \theta=\theta(t)
\end{cases}

Ekkor a görbület

 g= \frac{\dot{\theta }( 2\dot {r}^2+r^2\dot{\theta}^2 )+r(\dot{r}\ddot{\theta}-\dot{\theta}\ddot{r})}
{(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)^{3/2}} .

Ha a görbe egyenlete implicit alakban adott:

F(x,y)=0\,, akkor a görbület:
g=\frac{\begin{vmatrix}
 F_{xx}'' & F_{xy}'' & F_x'\\
 F_{yx}'' & F_{yy}'' & F_y'\\
 F_x' & F_y' & 0\\
\end{vmatrix}}
{(F_x'^2+F_y'^2)^{3/2}}

Térgörbék görbülete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Paraméteresen adott térgörbe görbülete:

g =\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}

Ha a görbe r(t)\, helyvektorának függvényével adott, akkor a görbület:

g = \frac{|\dot{r} \times \ddot{r}|}{|\dot{r}|^3}.

Felületek görbülete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A felület egy P pontjában a görbültségét (síktól való eltérését) a ponton átmenő jellegzetes felületi görbék görbületének értékével jellemezhetjük. A felületi görbület definíciójánál a P pontra illeszkedő síkmetszetek, s ezek közül csak az ú.n. normálmetszetek görbületét vesszük figyelembe.

Normálmetszet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A felület P pontbeli C normálmetszetét (felületi görbét) a felület adott pontbeli normálvektorát tartalmazó sík metszi ki. Egy ilyen normálmetszet görbülete a metszősík helyzetétől függ:

 \vec g = \frac{1}{R}.

A metszősíkot a normálvektor egyenese körül elforgatva az R1 = Rmax és R2 = Rmin értékekhez tartozó C1 és C2 metszetek az adott P ponthoz tartozó főnormálmetszetek.

Euler képlete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A C1 főnormálmetszet síkjával α szöget bezáró C normálmetszet görbülete a főnormálmetszetek görbületével kifejezve:

g=g_1 cos^2 \alpha + g_2 sin^2 \alpha
..azaz..
\frac{1}{R}=\frac{cos^2 \alpha}{R_1} +\frac{sin^2 \alpha}{R_2}.

Gauss-féle görbület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A P ponthoz tartozó két főnormálmetszet görbületi sugarával kifejezve:

G = g_1 . g_2 = \frac{1}{R_1 R_2}.

Középgörbület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A P ponthoz tartozó két főnormálmetszet görbületének számtani közepe:

H = \frac{g_1 + g_2}{2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}).

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • Bronstejn-Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.
  • Pach Zs. Pálné - Frey Tamás: Vektor- és tenzoranalízis, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1964.