Ívhossz

Az ívhossz egy differenciálható görbe szakaszának a hossza. Az ívhossz kiszámítása sok szempontból hasznos lehet, hiszen egy görbe sok mindent reprezentálhat (bejárt út, munka stb.). Jelölése: $S\,$.

Kiszámítása

Az ívhossz a görbe parametrikus egyenletéből relatíve egyszerűen megadható, mégpedig a meredekség vektorok hosszainak összegéből, azaz:

$\int\limits_a^b\vert\vec{F}'(t)\vert\;\mathrm{d}t=S$,

ahol $t\,$ független paraméter. Descartes-koordinátarendszerben a képlet így néz ki:

$S=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \; dx$

Ez a képlet a következő Riemann összegből számítható (ezzel az összeggel reprezentálva az ívhosszt):

$\lim_{\Delta x\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n \sqrt{1+f'(x_i)^2}\; \Delta x$

A fenti szummában a kifejezés a közelítő hossza egy húrnak a $\Delta x\,$ távolságon. Ahogy $\Delta x\,$ tart nullához, úgy közelíti az összeg az ívhosszt.

Az ívhossz polárkoordinátákban is meghatározható a fenti általános, vektoros képletből:

$L = \int_a^b \sqrt{r(\theta)^2 + (r'(\theta))^2}\; d\theta$

Ívhossz szerinti paraméterezés

Egy görbe paraméterezései közöütt kitüntetett szerep jut az úthossz szerintin paraméterezésnek. Sok képlet egyszerűbbé válik, ha ezt a paraméterezést használjuk.

Legyen a Γ görbe ezzel a paraméterezéssel megadva:

$\begin{matrix} \gamma:& [a,b] & \to & \R^n \\ & r & \mapsto & \gamma(r) \end{matrix}$

és $\Gamma_t$ minden $t\in[a,b]$-re. Ekkor a $\gamma|[a,t]$ paraméterezésű részgörbére

$\begin{matrix} s:& [a,b] & \to & \R \\ & t & \mapsto & L\left(\Gamma_t \right) \end{matrix}$

a Γ görbe úthosszfüggvénye. Ez az s(t) folytonos és monoton növő függvény, mivel a görbe nem szakadásos. Ha szigorúan monoton növő, akkor invertálható is, az inverz függvény t(s). Ekkor Γ ívhossz szerinti paraméterezése:

$\begin{matrix} \hat{\gamma}:& [0,L(\gamma)] & \to & \R^n \\ & s & \mapsto & \gamma(t(s)) \end{matrix}$

Ha Γ folytonosan differenciálható, és $\dot{\gamma}(r)\neq 0$ minden $r\in[a,b]$-ra, akkor $\hat{\gamma}$ is folytonosan differenciálható, és minden $s\in[0,L(\Gamma)]$-re:

$\left\|\frac{\mathrm{d}\hat{\gamma}(s)}{\mathrm{d}s}\right\|=1$.

Források

• Planet Math: Arc length
• Wolfgang Ebeling, Institut für Algebraische Geometrie, Universität Hannover: Vorlesungsskript Analysis II. [1]