Ívhossz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az ívhossz egy differenciálható görbe szakaszának a hossza. Az ívhossz kiszámítása sok szempontból hasznos lehet, hiszen egy görbe sok mindent reprezentálhat (bejárt út, munka stb.). Jelölése: S\,.

Kiszámítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ívhossz a görbe parametrikus egyenletéből relatíve egyszerűen megadható, mégpedig a meredekség vektorok hosszainak összegéből, azaz:

S=\int\limits_a^b\vert\vec{F}'(t)\vert\;\mathrm{d}t,

ahol t\, független paraméter. Descartes-koordinátarendszerben a képlet így néz ki:

 S=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \; dx

Ez a képlet a következő Riemann összegből számítható (ezzel az összeggel reprezentálva az ívhosszt):

\lim_{\Delta x\rightarrow0}\sum_{i=1}^n \sqrt{1+f'(x_i)^2}\; \Delta x

A fenti szummában a kifejezés a közelítő hossza egy húrnak a \Delta x\, távolságon. Ahogy \Delta x\, tart nullához, úgy közelíti az összeg az ívhosszt.

Az ívhossz polárkoordinátákban is meghatározható a fenti általános, vektoros képletből:

 L = \int_a^b \sqrt{r(\theta)^2 + (r'(\theta))^2}\; d\theta

Ívhossz szerinti paraméterezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy görbe paraméterezései között kitüntetett szerep jut az úthossz szerinti paraméterezésnek. Sok képlet egyszerűbbé válik, ha ezt a paraméterezést használjuk.

Legyen a \Gamma görbe ezzel a paraméterezéssel megadva:

\begin{matrix}
\gamma:& [a,b] & \to     & \R^n \\
       & r  & \mapsto & \gamma(r)
\end{matrix}

és \Gamma(t) minden t\in[a,b]-re. Ekkor a \gamma|[a,t] paraméterezésű részgörbére

\begin{matrix}
s:& [a,b] & \to     & \R \\
  & t     & \mapsto & L\left(\Gamma_t \right)
\end{matrix}

a \Gamma görbe úthosszfüggvénye. Ez az s(t) folytonos és monoton növő függvény, mivel a görbe nem szakadásos. Ha szigorúan monoton növő, akkor invertálható is, az inverz függvény t(s). Ekkor \Gamma ívhossz szerinti paraméterezése:

\begin{matrix}
\hat{\gamma}:& [0,L(\gamma)] & \to     & \R^n \\
             &         s     & \mapsto & \gamma(t(s))
\end{matrix}

Ha \Gamma folytonosan differenciálható, és \dot{\gamma}(r)\neq 0 minden r\in[a,b]-ra, akkor \hat{\gamma} is folytonosan differenciálható, és minden s\in[0,L(\Gamma)]-re:

\left\|\frac{\mathrm{d}\hat{\gamma}(s)}{\mathrm{d}s}\right\|=1.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Planet Math: Arc length
  • Wolfgang Ebeling, Institut für Algebraische Geometrie, Universität Hannover: Vorlesungsskript Analysis II. [1]