Komplex számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok halmazával ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke), valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak. A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a 17. századi algebrai problémák vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak. [megj 1]

A komplex számok megalkotása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplex számok halmazát \mathbb{C} betűvel jelöljük. Imaginárius (képzetes) egységnek az egyik olyan komplex számot nevezzük, amelynek a négyzete -1. Ennek jele i. (A másik komplex szám, melynek négyzete -1, a –i.)

A komplex számok származtatásának három lehetséges módja alább olvasható.

 
Komplex1.png Komplex2.png Komplex3.png
Halmazelméleti modell Geometriai modell Algebrai modell
\mbox{ }_\mathbb{C}:={ (x,y) | x ∈ \mbox{ }_\mathbb{R} & y ∈ \mbox{ }_\mathbb{R} },

azaz olyan rendezett párok, melyeknek elemei valós számok, tehát az \mbox{ }_\mathbb{R}×\mbox{ }_\mathbb{R} Descartes-szorzat.

\mbox{ }_\mathbb{C}:= { \mbox{ }_{r\cdot\mathcal{F}_{\varphi}} | r ≥ 0 & \mbox{ }_{\varphi}\mbox{ }_\mathbb{R} }, ahol az r\cdotFφ alakú leképezések közös kezdőponttal rendelkező síkbeli forgatva nyújtások (r a nagyítás mértéke, φ a szöge) \mbox{ }_\mathbb{C}:=\mbox{ }_\mathbb{R}[x] / (x2+1), azaz a valós együtthatójú polinomok x2+1 polinommal történő osztásának maradékai. (Pontosabban az \mbox{ }_{\mathbb{R}[x]} polinomgyűrű (x2+1) szerinti maradékosztályai)
Szorzás: Szorzás: Szorzás:
\mbox{ }_{(a,b)\cdot(c,d) = ( ac - bd , bc + ad )} \, Itt \cdot a függvénykompozíció ( \circ ), konkrétan a síkbeli leképezések egymásutánja a polinomok szorzása
Összeadás: Összeadás: Összeadás:
\mbox{ }_{ ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )} \, a képpontba mutató vektorok összege a polinomok összeadása
A szorzás egységeleme: A szorzás egységeleme: A szorzás egységeleme:
1 := (1,0) 1 := F = id (a nulla fokos forgatás) 1 := az azonosan 1 polinom
Az x2 = -1 egyenlet megoldása: Az x2 = -1 egyenlet megoldása: Az x2 = -1 egyenlet megoldása:
(0,1)\cdot(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1 F+90°\circF+90° = F180° = – id = – 1 x\cdotx = x2 = (x2+1)-1 = 0-1 = -1

A három modellnek az a közös tulajdonsága, hogy mindegyik a valós számtest feletti 2 dimenziós vektortér, melyen egy szorzás is értelmezve van, ami az összeadással együtt testet alkot. Az ilyen algebrai struktúrát a valós számok testbővítésének nevezzük. Érvényes az a tétel, miszerint

a valós számok testének egyetlen olyan valódi testbővítése van, mely kommutatív és véges dimenziós.

Ezt az (izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott) testbővítést a komplex számok halmazának nevezzük. A komplex számok fenti három értelmezése tehát kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon megfeleltethető egymásnak. Az előbbi tétel következményeként kijelenthetjük, hogy a komplex számok bizonyos értelemben a számkörbővítés utolsó állomásának tekinthető. Tovább csak úgy bővíthető a számkör, ha feladjuk a szorzás kommutativitását (kvaterniók) illetve ezen túl a szorzás asszociativitását (oktoniók).

Halmazelméleti modell[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A rendezett valós számpárok összessége alkotja a komplex számok halmazelméleti modelljét. Az összeadást ebben a modellben az

 ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) \,

formulával definiáljuk;

a szorzást a kissé légbőlkapott

 ( a , b ) \cdot ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ) \,

egyenlőséggel. Ellenőrizhető, hogy ez az (R×R, +, \cdot ) matematikai struktúra valóban testet alkot a

0 := (0,0) additív neutrális elem és a
1 := (1,0) multiplikatív neutrális elem

választásával.

Érdemes még felírni az additív inverz elemet:

- ( a , b ) = (-a , -b )

és a mutiplikatív inverz elemet minden nem nulla elem esetén:

\frac{1}{(a, b)}= \left( \frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2} \right).

A valós számtestet az

R \rightarrow R×R, a \mapsto (a,0)

bijektív azonosítással kapjuk.

A kardinális kérdés, hogy melyik elem alkalmas -1 négyzetgyökének. A válasz (0,1) és (0,-1), mely közül i -vel jelöljük és imaginárius egységnek mondjuk a (0,1) elemet:

(0,1)2 = (0,1)\cdot(0,1) = (0\cdot0 – 1\cdot1,1\cdot0 + 0\cdot1) = (-1,0) = -1

Ez a modell a komplex számok összeadási tulajdonságát teszi szemléletessé, visszavezetve azt a vektorösszeadásra.

Geometriai modell[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A közös kezdőpontú, síkbeli forgatva nyújtások alkotják a komplex számok geometriai modelljét. Minthogy ezek egy (Descartes-féle derékszögű, ortonormált) koordináta-rendszer választásával azonosíthatók bizonyos lineáris leképezésekkel, érdemes rögtön a mátrixukra áttérni. A φ szöggel elforgató, r-szeresére nyújtó \mbox{ }_{r\cdot\mathcal{F}_{\varphi}} leképezés mátrixa:

[r\cdot\mathcal{F}_{\varphi}]=r\cdot
\begin{pmatrix}
  \cos\varphi &   -\sin\varphi  \\
  \sin\varphi & \;\; \cos\varphi  
\end{pmatrix}

vagy az a := r\cdotcos(φ), b := r\cdotsin(φ) választással:

\begin{pmatrix}
  a &   -b  \\
  b & \;\; a  
\end{pmatrix}.

Az ilyen alakú leképezések illetve mátrixok alkotják a geometriai modellt.

Itt a műveletek a következők lesznek. Az összeadás a mátrixösszeadás:

[r\cdot\mathcal{F}_{\varphi}+s\cdot\mathcal{F}_{\psi}]=[r\cdot\mathcal{F}_{\varphi}]+[s\cdot\mathcal{F}_{\psi}]

A szorzás a leképezések kompozíciója, ami mátrixokkal felírva a mátrixszorzás:

[(r\cdot\mathcal{F}_{\varphi})\circ (s\cdot\mathcal{F}_{\psi})]=[(r\cdot s)\cdot \mathcal{F}_{\varphi+\psi}]=rs\begin{pmatrix}
  \cos(\varphi+\psi) &   -\sin(\varphi+\psi)  \\
  \sin(\varphi+\psi) & \;\; \cos(\varphi+\psi)  
\end{pmatrix}

Az additív neutrális elem a 0 szorosára nyújtó leképezés, illetve a nullmátrix, a multiplikatív egységelem a 0°-os elforgatás. Egy nemnulla elem multiplikatív inverze az ugyanolyan szögű, de ellenkező irányba forgató leképezés, melynek nyújtási tényezője az eredeti reciproka.

A +90°-os forgatás olyan leképezés, melyet egymás után kétszer végrehajtva az identitás leképezés ellentettjét, a 180°-os forgatást kapjuk, tehát megoldható az x2 = -1 egyenlet.

Ez a modell a komplex számok szorzási tulajdonságait teszi szemléletessé.

Algebrai modell[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Algebrai modellnek az R[x] polinomgyűrű (x2+1) főidelálja szerinti R[x] / (x2+1) faktorgyűrűjét értjük, mely ellenőrizhető, hogy testet alkot. Ez praktikusan azt jelenti, hogy a komplex számok ekkor a valós együtthatós polinomok x2+1 polinommal történő osztási maradékai, tehát legfeljebb elsőfokú polinomok, ahol a műveleteket (összeadás, szorzás) a maradékokkal kell végeznünk. Az algebrai modellben az x2+1 polinomot úgy tekinthetjük, mint ami azonos a 0 polinommal, hiszen ezt saját magával maradékosan elosztva nullát kapunk:

x^2+1\equiv 0

Ebből következik, hogy az elsőfokú x polinom (mint polinomosztási maradék) megoldása az

x^2\equiv -1

egyenletnek. Ezt nevezzük ebben az esetben az imaginárius egységnek, amit i-vel jelölünk, és amely jelölés alkalmazásával az x2+1-tel történő osztás minden maradéka előáll az

 a+bi\,

nevezetes algebrai alakban.

Ezek után az algebrai modellben minden azonosítás helyett az = jelet írhatjuk és figyelembe véve a polinomok és algebrai törtek műveleteit, minden testben végezhető műveletet ugyanúgy végezhetünk, mint a valós számok között, figyelve arra, hogy i azt az elemet jelöli, melyre

i^2=-1;  i^3=-i  ;    i^4=1 ; i^5=i\,

Számolás a komplex számok körében[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Algebrai alak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bárhogy is definiáljuk a komplex számok \mbox{ }_{\mathbb{C}} halmazát, benne megtaláljuk a multiplikatív egységelemet, az 1-et és az imaginárius egységet, az i-t. Ezek ketten bázist alkotnak a komplex számok kétdimenziós terében, ezért minden z\mbox{ }_{\mathbb{C}} komplex szám egyértelműen előállítható z = a\cdot1 + b\cdoti alakban, ahol a és b valós számok. Ennél fogva egyszerűbb áttérni a következő logikus jelölésre:

z=a \,+ \,b\cdot i

Mivel a és b a z által egyértelműen van meghatározva, ezért ezeknek nevet is adhatunk. a-t a z szám valós részének nevezzük és

\mathrm{Re}\, z

-vel jelöljük, b-t a z szám imaginárius részének:

\mathrm{Im}\, z

vegyük észre, hogy az elnevezésével ellentétben, a definíció alapján az imaginárius rész nem imaginárius, hanem valós szám. Tehát:

z=\mathrm{Re}\, z \,+ \,i\cdot \mathrm{Im}\, z

A komplex számok halmazán normát, vagy abszolút értéket is bevezethetünk, ha z = a + bi, akkor

|z |:= \sqrt{a^2+b^2}\,.

Geometriai ábrázolás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Depicting complex numbers.JPG

A geometriai ábrázolásban minden komplex szám a kétdimenziós sík egy vektorának feleltethető meg. Ez az ábrázolás a Gauss-féle számsík, vagy (hogy Gauss neve ne legyen túlterhelve és ennek az ábrázolási formának az első bevezetőjéről legyen elnevezve) Argand-diagram (Jean-Robert Argand). Így egy komplex számnak van hossza, ez pont az előzőekben definiált abszolútérték (mely az R2-beli euklideszi norma), és irányszöge, vagy arkusza, mely a valós tengellyel bezárt irányított szöge.

Trigonometrikus alak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A geometria és a halmazelméleti modell összevetéséből kiderül, hogy a z = a + bi komplex szám felírható

 z = r \cdot (\cos\,\varphi + i\!\cdot\!\sin\,\varphi)

alakban, ahol r nemnegatív szám z modulusa, a φ radiánban megadott szögérték az árkusza. Ekkor persze

a=r\,\cos\,\varphi és
b=r\,\sin\,\varphi.

A fordított reláció a sugarat ugyan igen, de az árkuszt nem egyértelműen fejezi ki:

r=\sqrt{a^2+b^2}

Illetve nem nulla a esetén:

\varphi=
\begin{cases} \mathrm{arctg}\left(\frac{b}{a}\right), & \mbox{ha } a > 0  \\ \pi+\mathrm{arctg}\left(\frac{b}{a}\right),   & \mbox{ha } a < 0. \end{cases}

Érdemes továbbá megemlíteni, hogy a komplex számokon értelmezett arg függvény az alábbi képlettel vezethető vissza az arctg2 függvényre:

\arg(a+bi) = \operatorname{arctg2}(b,a)\,

Ennek az alaknak a komplex számok szorzásánál, hatványozásánál és a komplex számokból való gyökvonásnál vesszük hasznát. A z1 és z2 komplex számok triginometrius alakban felírt szorzata a geometriai modellhez hasonlóan:

z_1\cdot z_2=r_1r_2(\cos(\varphi+\psi)+i\sin(\varphi+\psi))

A többtagú szorzás ugyanígy, speciális esetben a hatványozás:

z^n=r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))

amelyet r = 1 esetén felírva a Moivre-formulát kapjuk:

(\cos\,\varphi+i\sin\,\varphi)^n=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)

Exponenciális alak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel a komplex test normált, ezért léteznek és igazolható módon konvergensek a következő sorok:

\sin\,z=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}
\cos\,z=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k}
\exp\,z=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n}

Ha a csupa páratlan tagot tartalmazó szinusz i-szeresét hozzáadjuk a csupa páros tagból álló koszinuszhoz, akkor az exponenciális olyan alakját kapjuk, melyben a változó i-vel van szorozva:

\exp(iz)=e^{iz}=\cos\,z+i\sin\,z

Mindez a valós z = φ-re is igaz, mely esetet Euler-formulának nevezzük:

e^{i\varphi}=\cos\,\varphi+i\sin\,\varphi

Van amikor a φ = π -re vonatkozó esetet nevezik Euler-formulának:

e^{i\pi}=-1\,

Tehát minden komplex szám előáll

z=re^{i\varphi}

alakban.

Az exponenciális alak segítségével a komplex számok szorzása, osztása és hatványozása a szokásos szabályok szerint folyik:

z_1\cdot z_2=r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2}=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}

Feltéve, hogy r2 nem nulla:

\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}
z^n=r^n\cdot e^{in\varphi}

Érdemes a nemnulla komplex számokat teljesen exponenciális alakban írni:

z=re^{i\varphi}=e^{\varphi_0}e^{i\varphi}=e^{\varphi_0+i\varphi_1}

Ekkor a nemnulla z komplex szám komplex w kitevőjű hatványozása, ha v = φ0+iφ1, akkor

z^w=(e^{\varphi_0+i\varphi_1})^w=(e^{v})^w=e^{v\cdot w}

Gyökvonás komplex számokból[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyökvonásról általában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mielőtt továbblépnénk jegyezzük meg, hogy az Euler-képlet segítségével egy komplex szám végtelen sokféleképpen felírható, mert az arkuszához formálisan akárhányszor hozzáadhatunk 2 \pi-t:

z = R \cdot e^{i \cdot \phi } = R \cdot e^{i \cdot \left( \phi + k \cdot 2\pi \right)},

ahol k=0,1,2,…. Ez fontos, mert amikor z-ből n-edik gyököt vonunk, akkor egy olyan komplex számot keresünk, amelynek arkuszát n-nel szorozva visszakapjuk az eredeti arkuszt. De a fenti megjegyzés szerint nem csak \frac{\phi}{n} ilyen, hanem a következő arkuszok mind:

\frac{\phi}{n}+\frac{k \cdot 2 \pi}{n},

ahol k=0,1,2, … n-1 . Tehát n különböző n-edik gyök létezik

\sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{ R \cdot \left( e^{i \cdot \phi} \right)} = \sqrt[n]{R} \cdot e^{i \cdot \left( \frac{\phi}{n}+\frac{k \cdot 2 \pi}{n} \right)},

ahol k=0,1,2, … n-1.

Valóban, ezek mind olyan komplex számok, melyekre igaz, hogy n-edik hatványuk éppen z. Triviális példa az 1-szám. Ennek négyzetgyökei, mint az elemekből ismeretes \pm 1, vagyis a következő két (komplex) szám e^0=1 \, és e^{i \cdot \left(0+ \pi \right)}=-1.

Példaképp most számoljuk ki a

z = 1+i = \sqrt{2} \cdot e^{ i \cdot \frac{\pi}{4}}

komplex szám negyedik gyökeit. A mondottak szerint négy ilyen negyedik gyök van:

\sqrt[8]{2} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi}{16}},
\sqrt[8]{2} \cdot e^{i \cdot \frac{9 \cdot \pi}{16}},
\sqrt[8]{2} \cdot e^{i \cdot \frac{17 \cdot \pi}{16}} és
\sqrt[8]{2} \cdot e^{i \cdot \frac{25 \cdot\pi}{16}}.

Valóban, például az utolsó gyököt a negyedik hatványra emelve:

 {\left( \sqrt[8]{2}\cdot e^{i \cdot \frac{25 \cdot\pi}{16}} \right)}^4 = \sqrt{2} e^{i \cdot \frac{25 \cdot 4\cdot\pi}{16}} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \left(\frac{\pi}{4} + 3 \cdot 2\pi    \right)} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \frac{\pi}{4}} = 1 + i.


Rendezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplex számok körében nem lehetséges definiálni olyan ≤ rendezési relációt, mely „kompatibilis” az összeadás és szorzás műveletekkel, így nem alkotnak rendezett testet (bár egyéb módon a komplex számok teste rendezhető (például a lexikografikus rendezéssel), sőt a jólrendezési tétel alapján jólrendezhető is, csak az ilyen rendezések egyike sem lesz kompatibilis a hagyományos +, · műveletekkel).

A komplex számtest algebrai és topologikus jellemzései[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

TételFrobenius tétele – A valós számok teste feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrák (algebraizomorfizmus erejéig) a következők:

Ennek a tételnek a következménye, hogy a valós számok testbővítései közül egy definiáló tulajdonság segítségével kiválaszthatjuk a komplex számok testét. Mivel minden test nullosztómentes, ezért elegendő azt a megszorítást tenni, hogy véges dimenziós (1, 2, vagy 4), valódi bővítése R-nek (dim > 1) és kommutatív (tehát nem a kvaternió ferdetest), ekkor eljutunk a komplex számok testéhez.

Felvetődik a kérdés, hogy a valós számokra való hivatkozás nélkül is kijelölhető-e a testek közül a komplex számtest.

TételA komplex számok karakterizációja, mint test – Testizomorfizmus erejéig egyetlen olyan test van, mely:

Ez a komplex számok teste.

(A prímtest, a minimális résztest (igazolható, hogy ez egyértelműen létezik), a transzcendencia foka a transzcendencia-bázis számossága (jelen esetben kontinuum). Algebrailag zárt egy test, ha minden legalább elsőfokú polinomjának van gyöke a testben.)

Ezzel a karakterizációval elveszítjük a komplex számok topologikus tulajdonságait, melyek a valós számokkal való kapcsolatából erednek. A komplex számok testének, mint topologikus testnek a karakterizációját Pontrjagin határozta meg első ízben:

TételPontrjagin tétele – Összefüggő, lokálisan kompakt topologikus testből csak kétféle van az izomorfizmus erejéig, éspedig a valós számok teste és a komplex számok teste.

Ennek segítségével úgy jellemezhető a komplex számtest, mint olyan, a fenti tulajdonságokkal rendelkező test, melyben a nemnulla elemek összefüggő halmazt alkotnak (ellentétben a valósokkal).

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. ld. pl. Stephen Hawking: Az idő rövid története. Könyvében Hawking amellett is érvel, hogy a fizika számára a téridő megértésének, vagy legalábbis leírásának kulcsfontosságú lépése, hogy az időt képzetes mennyiségnek tekintsük, azaz komplex számokkal mérjük.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]