Fourier-transzformáció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Legyen az f \, függvény Lebesgue-integrálható az I \, intervallumon. Ekkor f \, Fourier-transzformáltja az

\mathrm Ff= \int _I f(t)e^{-2 \pi ixt}dt \,

függvény.

A Fourier-transzformáció kiterjeszthető a négyzetesen Lebesgue-integrálható függvények terére:

\mathrm Ff= \lim _{n \rightarrow \infty}\int _I f_n(t)e^{-2 \pi ixt}dt \,,

ahol az összes f_n \, függvény integrálható. Ha az I \, intervallum végtelen, akkor ez egy valódi kiterjesztés.

A Fourier-transzformáció disztribúciókra is definiálható.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vezessük be a következő műveleteket:

(\tau _hf)(x)=f(x+h) \, transzláció
(\nu _hf)(x)=hf(x) \, moduláció
(\delta _hf)(x)=f(hx) \, dilatáció

Ezek a műveletek a következő kapcsolatban vannak a Fourier-transzformációval:

F\tau _hf(x)=\nu _hFf(x) \,
F\nu _hf(x)=\tau _{-h}Ff(x) \,
F\delta _hf(x)=\frac{1}{h}\delta_{\frac{1}{h}}Ff(x) \,

Jelölje * \, a konvolúciót. Ekkor

F(f*g)=Ff \cdot Fg \,

Legyen Mf=2 \pi itf(t) \, és jelölje f \, deriváltját Df \, . Ha f \, és Mf \, is integrálható, akkor Ff \, mindenütt differenciálható, és

DFf = -FMf \,
FDf = MFf \,

A Fourier-transzformáció invertálható:

\mathrm F^{-1}f= \int _I f(t)e^{2 \pi ixt}dt \,

Fourier-sorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A periodikus függvények Fourier-sorba fejthetők:

f(t)= \sum _{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{-2 \pi i\nu _0k}

ahol \nu _0 \, az alapfrekvencia, a periódus reciproka.

  • A differenciálható függvények Fourier-sora pontonként konvergens, ami nem igaz minden integrálható függvényre (Kolmogorov konstrukciója).
  • Sőt, van folytonos függvény, aminek Fourier-sora periódusonként egy pontban divergál (Reiman).
  • A Dirichlet-Jordan konvergenciatétel szerint az f(x) \, korlátos változású függvény Fourier-sora minden x \, pontban f(x) \, -beli jobb és bal oldali határértékének számtani közepéhez tart.
  • A négyzetesen integrálható függvények Fourier-sora normában konvergens. Ez a Riesz-Fischer-tétel közvetlen következménye.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Háromszögjel:
A háromszögjel különböző közelítései

A háromszögjel fázisszögtől függően szinuszos vagy koszinuszos kifejezésekkel közelíthető. A képletekben h \, jelöli az amplitúdót:

\begin{array}{rl}
f(t)
=& -\frac{8h}{\pi^2}\left[ {\cos{\omega t} + \frac{1}{3^2} \cos{3 \omega t} + \frac{1}{5^2} \cos{5 \omega t} + \cdots}\right] \\[.6em]
=& -\frac{8h}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ \cos ((2k-1) \omega t)}{(2k-1)^2}
\end{array}
\begin{array}{rl}
f(t)
=& \frac{8h}{\pi^2}\left[ {\sin {\omega t} - \frac {1}{3^2}\sin{3 \omega t} + \frac {1}{5^2}\sin {5 \omega t} \mp \cdots}\right] \\[.6em]
=& \frac {8h}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \dfrac{ \sin((2k-1) \omega t)}{(2k-1)^2}
\end{array}
  • Négyszögjel:
A négyszögjel különböző közelítései

Hasonlóan a négyszögjel:

\begin{array}{rl}
f(t)
=& \frac{4h}{\pi}\left[ {\sin {\omega t} + \frac {1}{3}\sin{3 \omega t} + \frac {1}{5}\sin{5 \omega t} + \cdots}\right] \\[.6em]
=& \frac{4h}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ \sin\left( (2k-1)\omega t \right) }{2k-1}
\end{array}
\begin{array}{rl}
f(t)
=& \frac{4h}{\pi}\left[ {\cos {\omega t} - \frac {1}{3}\cos{3 \omega t} + \frac {1}{5}\cos{5 \omega t} \mp \ldots}\right] \\[.6em]
=& \frac{4h}{\pi} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \dfrac{\cos\left( (2k-1)\omega t \right)}{ 2k-1}
\end{array}
  • Fűrészfogjel: (növekvő)
A fűrészfogjel különböző közelítései

Ugyanígy közelíthetők szinuszos kifejezésekkel a pontra szimmetrikus függvények. Itt a váltakozó előjelek fáziseltolódást eredményeznek:

\begin{array}{rl}
f(t)
=&- \frac{2h}{\pi}\left[ {\sin {\omega t} - \frac {1}{2}\sin{2 \omega t} + \frac {1}{3}\sin {3 \omega t} \mp \cdots}\right] \\[.6em]
=& - \frac {2h}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1} \dfrac {\sin k \omega t}{k}
\end{array}
  • Szinuszjel:
A szinuszjel különböző közelítései
\begin{array}{rl}
f(t)
=& h\left| \sin {\omega t} \right|\\[.6em]
=& \frac{4h}{\pi}\left[ \frac{1}{2} - \frac { \cos {2 \omega t}}{3}-\frac { \cos {4 \omega t}}{15}-\frac { \cos {6 \omega t}}{35}- \cdots\right] \\[.6em]
=& \frac{2h}{\pi} - \frac{4h}{\pi} \sum_{k=1}^{\infin} \dfrac { \cos {2 k\omega t}}{(2k)^2-1}
\end{array}

Diszkrét Fourier-transzformáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Fourier-transzformációnak diszkrét változata is van:

\mathrm Ff= \sum _{-\infty}^{\infty} f(n)e^{-2 \pi ixn}

Sokszor ezt használják a gyakorlatban, mert csak véges sok mintavételezés lehetséges. A függvény értelmezési tartományáról felteszik, hogy diszkrét és véges. Nem tévesztendő össze a Fourier-sorral.

Gyors Fourier-transzformáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyors Fourier-transzformáció (FFT = Fast Fourier Transform) a diszkrét Fourier-transzformált kiszámítására szolgál. Ehhez  N = 2 ^n \, egyenközű mintavétel szükséges, ahol n \geq 6. Műveletigénye N \log N \,. A mintavételezés frekvenciáját úgy kell választani, hogy legalább kétszer akkora legyen, mint a maximális feldolgozandó frekvencia, különben torz kép jön létre. Több perióduson át kell mintavételezni úgy, hogy a mintavételezés máshova essen az egyes periódusokban. Például, ha a jel frekvenciája 1 kHz, akkor jobb 2100 Hz-cel mintavételezni, mint 2000-rel, és még jobb mondjuk 4100 Hz-cel, vagy még ennél is nagyobb frekvenciával.

A sor:

y(\omega)=\frac{T}{\sqrt {2\pi}}\sum _{n=-\infty}^{\infty}x_ne^{-i \omega t_n}

ahol

x_n=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int _{-\pi F}^{\pi F}y_ne^{i \omega t_n}d \omega

Algoritmus[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyors Fourier-transzformáció egy rekurzív algoritmus, ami az Oszd meg és uralkodj! elvén működik.

Legelőször is idézzük fel, hogy a  2n \, pontú diszkrét Fourier-transzformáció a következőképpen definiálható:

f_j = \sum_{k=0}^{2n-1} x_k \;e^{-\frac{2\pi i}{2n} jk }
\qquad
j = 0,\dots,2n-1.

Legyenek a páros indexű együtthatók

 x'_0=x_0,\ x'_1=x_2, \ ..., \ x'_{n-1} = x_{2n-2} \,

és ezek diszkrét Fourier-transzformálja

 f'_0,\ ... ,\ f'_{n-1} \, ;

hasonlóan, jelölje a páratlan indexű együtthatókat

 x''_0 = x_1,\ x''_1 = x_3,\ ...,\ x''_{n-1} = x_{2n-1} \,

és legyen ezek diszkrét Fourier-transzformáltja

 f''_0,\ ...,\ f''_{n-1} \, .

Ekkor:


\begin{matrix}

f_j & = & \sum_{k=0}^{n-1} x_{2k} e^{-\frac{2\pi i}{2n} j(2k)}
+ \sum_{k=0}^{n-1} x_{2k+1} e^{-\frac{2\pi i}{2n} j(2k+1)} \\ \\

& = & \sum_{k=0}^{n-1} x'_{k} e^{-\frac{2\pi i}{n} jk}
+ e^{-\frac{\pi i}{n}j} \sum_{k=0}^{n-1} x''_k e^{-\frac{2\pi i}{n} jk} \\ \\

& = & \left\{ \begin{matrix}
f'_j + e^{-\frac{\pi i}{n}j} f''_j & \mbox{ha } j<n \\ \\

f'_{j-n} - e^{-\frac{\pi i}{n}(j-n)} f''_{j-n} & \mbox{ha } j \geq n \end{matrix} \right.

\end{matrix}

Pszeudokód[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az algoritmus pszeudokódja:

\mathrm{function}\ \operatorname{fft}(n,\vec f):

\mathrm{if}\ (n = 1)
\mathrm{return}\ \vec f
\mathrm{else} \
\vec g = \operatorname{fft}\left(\tfrac{n}{2}, (f_0, f_2, \ldots ,f_{n-2})\right)
\vec u = \operatorname{fft}\left(\tfrac{n}{2}, (f_1, f_3, \ldots ,f_{n-1})\right)
\mathrm{for} \ k = 0 \ \mathrm{to} \ \tfrac{n}{2}-1

\begin{align}
c_k       = g_k + u_k \cdot e^{-2 \pi i k/n} \\
c_{k+n/2} = g_k - u_k \cdot e^{-2 \pi i k/n}
\end{align}
\mathrm{return}\ \vec c

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Fourier-transzformációknak és a Fourier-soroknak számos alkalmazásuk van:

  • a valószínűségszámítás, statisztika elméletében
  • a jelfeldolgozásban
  • a hang- és videotechnikában
  • a rezgésanalízisben
  • analóg áramkörök leírásában
  • spektrométerekben
  • differenciálegyenletek megoldásában

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]