Fourier-sor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Legyen f(x)\in R_{[2\pi]} az \mathbb{R} értelmezett, 2π szerint periodikus és a \left[0,2\pi\right] intervallumon Riemann-integrálható függvény. Ekkor az f(x) függvény Fourier-során a következő függvénysort értjük:

f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k \cos kx+b_k \sin kx\right),

ahol a ~ a következőképp olvasandó: "az f(x) függvény Fourier-sora …", továbbá érvényes:

a_k=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos kx\,dx \left(k=0, 1, 2\dots\right)

és

b_k=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin kx\,dx \left(k=1,2,\dots\right).

Az \left\{a_k\right\},\left\{b_k\right\} számokat a függvény Fourier-együtthatóinak nevezzük.

Ha előáll ilyen alakban a függvény (azaz egyenlőség áll fent), akkor ez az egyetlen együttható-sorozat, amire ez igaz.


Ha f(x) páros függvény, akkor bk = 0, és

a_k=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx.

Ha f(x) páratlan függvény, akkor ak = 0, és

b_k=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx.

[szerkesztés] Jegyzetek

Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I-II. Typotex Kiadó, 2003. ISBN 963-9548-21-9, ISBN 963-9548-22-7

A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/Fourier-sor”