Riemann-integrál

Az integrál mint a függvénygörbe alatti terület

A matematikai analízisben az érintőprobléma mellett a másik jelentős témakör a kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás (régen: egészlés).

Szemléletesen az integrálás feladata azt meghatározni, hogy adott [a,b] zárt intervallumon értelmezett, pozitív értékeket felvevő függvény esetén mekkora területű síktartományt határol a függvény görbéje, az x tengely, valamint az x = a és az x = b egyenes. Valójában ez a másik irányban igaz: Az integrálás segítségével definiálható az említett görbével határolt terület nagysága.

Folytonos függvények integráljára először Cauchy adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. Riemann kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.

Riemann definíciója

Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.

Integrálható (azon belül folytonos) függvény.

Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen $F_n = \{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n \}$ halmazzal, ahol $a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$. Ezt az F_n halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: $d(F_n)$

Az integrálási intervallum egy három részintervallumból álló felosztása

Mindegyik [x_i-1, x_i] részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξ_i elemet.

Állítsunk f(ξ_i) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:

$\sigma(F_n) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$

Ezt a $\Delta x_i=(x_i-x_{i-1})$ jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:

$\sigma(F_n) =\sum_{i=1}^n{ f(\xi_i)\Delta x_i} =f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+\, \cdots \, +f(\xi_n)\Delta x_n$

A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: $\{F_n\} = F_1, F_2, F_3, F_4, \ldots$. Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a $\{d(F_n)\} = d(F_1), d(F_2), \ldots$ sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Normális felosztássorozat első tagjai

Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: $\int \limits _a^b f(x) \, dx$ vagy röviden: $\int \limits _a^b f$.

$d(F_n) \to 0 \Rightarrow \sigma(F_n) \to \int \limits _a^b f$

Összefoglalva:

$\int \limits _{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot (x_i - x_{i-1})$

ahol

$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b$

$x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$

$\lim_{n\to \infty} \max \left\{ x_i - x_{i-1} | 1 \le i \le n \right\}=0$

Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.

Az alsó és a felső integrálközelítő összeg

Ha a $\sigma_n$ összegben az $f(\xi_i)$ helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez jutunk: $S_n = \sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})}$, ahol $M_i$ a függvény felső határa (supremuma) az $[ x_{i-1}, x_i ]$ intervallumon.

Hasonló a (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg definíciója is: $s_n = \sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})},$ ahol $m_i$ az függvény alsó határa (infimuma) az $[ x_{i-1}, x_i ]$ intervallumon.

Amennyiben létezik az $\int \limits _a^b f$ integrál, akkor $s_n \le \int \limits _a^b f \le S_n$. Ily módon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani”.

A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibniz-formula

Az $I$ (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett f függvény primitív függvényének nevezzük az F függvényt, ha F'(x)=f (x) teljesül bármely $x\in I$ esetén. (Azaz ha F deriváltja az eredeti f függvény.)

Ha egy F(x) függvény primitív függvény, akkor F(x)+C is az, ahol C tetszőleges valós szám, hiszen konstans hozzáadása a deriváltat nem változtatja meg. Az is bebizonyítható, hogy az összes primitív függvény felírható F(x)+C alakban. Összefoglalva tehát egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, de ezeket konstans hozzáadásával megkapjuk egymásból.

Ez grafikusan is könnyen belátható. A derivált a függvény „változási gyorsaságát” jelenti, azaz a grafikonjának a meredekségét. Ha hozzáadunk egy konstanst, akkor a függvény képe függőlegesen eltolódik. Nyilván ezzel minden pontban ugyanaz marad a meredeksége. A három grafikonon ábrázolt függvény deriváltfüggvénye tehát ugyanaz lesz.

Az f(x) legyen a sin x függvény. Ennek egyik primitív függvénye a -cos x függvény, hiszen (-cos x)' = sin x, de a -cos x +5 függvény is primitív függvény. Általánosan fogalmazva egy függvény pontosan akkor primitív függvénye a sin x függvénynek, ha felírható -cos x +C alakban, ahol C valós szám.

Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következőképpen számolható:
Newton–Leibniz-formula: $\int \limits _a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b$, ahol az F függvény az f függvény egyik primitív függvénye, a $\Big[ F(x) \Big]_a^b$ pedig egy új jelölés az F(b)-F(a) kifejezésre.

$\int \limits _{\pi}^{\frac{3\pi}2} \sin x \,\mathrm{d}x = \Big[ -\cos x \Big]_{\pi}^{\frac{3\pi}2}= -\cos \frac{3\pi}2 - (-\cos \pi ) = 0 - 1 = -1$

A szinuszfüggvényt felrajzolva, a kapott eredmény előjele nem meglepő, hiszen a kérdéses intervallumon a függvényérték végig negatív.

Határozatlan integrál

A primitív függvények halmazát határozatlan integrálnak vagy antideriváltnak nevezzük. Ezt a halmazt vagy gyakrabban annak egy általános elemét $\int f(x)\, \mathrm{d}x$ vagy röviden $\int f$ jelöli.

Nevezetes függvények primitív függvényei

$\int \sin(x)\, \mathrm{d}x = -\cos x + C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \, \mathrm{d}x = \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n-1+1} x^{n+1-1} + ... + \frac{a_2}{3} x^3 + \frac{a_1}{2} x^2 + a_0 x + C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = ln|x| + C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int e^{x} \, \mathrm{d}x = e^x + C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos^2(x)} = \tan(x) + C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \arctan(x) + C$, ahol C tetszőleges valós szám.

Integrálási szabályok

Az integrálási szabályok levezethetőek a deriválási szabályokból. Példák (f,g függvények, c valós konstans) :

$\int (f + g) \, \mathrm{d}x = \int f \, \mathrm{d}x + \int g \, \mathrm{d}x$

$\int (f - g) \, \mathrm{d}x = \int f \, \mathrm{d}x - \int g \, \mathrm{d}x$

$\int c \cdot f \, \mathrm{d}x = c \cdot \int f \, \mathrm{d}x$

$\int f ( a \cdot x + b ) \, \mathrm{d}x = \frac {F ( a \cdot x + b ) }{a} + c$, ahol $a$ és $b$ valós szám és $F$ az $f$ függvénynek egy primitív függvénye.

$\int f \cdot g' \, \mathrm{d}x = f \cdot g - \int f' \cdot g \, \mathrm{d}x$

$\int f ( g ( x ) ) \cdot g' (x) \, \mathrm{d}x = F ( g ( x ) ) + c$, ahol $F$ a $f$ egy primitív függvénye.

$\int f^n \cdot f' \, \mathrm{d}x = \frac{f^{n+1}}{n+1} + C$, ahol C tetszőleges valós szám.

$\int \frac {f'}{f} \, \mathrm{d}x = ln |f|$, ahol C tetszőleges valós szám.

A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma

Egy $[a,b]$ intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és $[a,b]$ majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint nullmértékű).

Egyéb integrálok

Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:

• Banach-integrál
• Burkill-integrál
• Daniell-integrál
• Darboux-integrál, a Riemann-integrál egy variációja
• Denjoy-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
• Dirichlet-integrál
• Euler-integrál
• Fejér-integrál
• Haar-integrál
• Henstock-Kurzweil-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása (HK-integrál, valamint Kurzweil-Henstock-integrál néven is)
• Henstock-Kurzweil-Stieltjes integrál (HK-Stieltjes-integrál néven is)
• Itô-integrál
• Itô-Stieltjes-integrál
• Lebesgue-integrál
• Lebesgue-Stieltjes-integrál (Lebesgue-Radon-integrál néven is)
• mérték szerinti integrál, az integrálfogalom legfontosabb mértékelméleti általánosítása
• Perron-integrál, ami ekvivalens a tiltott Denjoy-integrállal
• Poisson-integrál
• Radon-integrál
• Stieltjes-integrál, a Riemann-integrál kiterjesztése (Riemann-Stieltjes-integrálnak is nevezik)
• sztochasztikus integrál
• Wiener-integrál
• Young-féle integrál

Külső hivatkozások

• Magyarított Flash animáció a Riemann-integrál szemléltetéséről általában plusz egy konkrét függvénnyel. Szerző: David M. Harrison

Források

• Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
• Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
• Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
• Medvegyev P. (2004): Szochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
• Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.