Riemann-integrál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az integrál mint a függvénygörbe alatti terület
Riemann-összegek egy sorozata az integrálási intervallum fölötti szabályos felosztású partíción. A felül lévő szám a téglalapok területeinek az összegét mutatja, ami a függvény integráljához konvergál.
A partíciónak ugyanakkor nem kell szabályosnak lennie. A szükséges kritérium a partíciósorozatra (amely fölött vesszük a Riemann összegek sorozatát) az, hogy minden részintervallum hosszának 0-hoz kell tartania.

A matematikai analízisben az érintőprobléma mellett a másik jelentős témakör a kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás (régen: egészelés).

Szemléletesen az integrálás feladata azt meghatározni, hogy adott [a,b] zárt intervallumon értelmezett, pozitív értékeket felvevő függvény esetén mekkora területű síktartományt határol a függvény görbéje, az x tengely, valamint az x = a és az x = b egyenes. Valójában ez a másik irányban igaz: Az integrálás segítségével definiálható az említett görbével határolt terület nagysága.

Folytonos függvények integráljára először Cauchy adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. Riemann kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.

Riemann-integrál definíciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Riemann definíciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.

Integrálható (azon belül folytonos) függvény.

Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen F_n = \{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n \} halmazzal, ahol a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b. Ezt az Fn halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: d(F_n)

Az integrálási intervallum egy három részintervallumból álló felosztása

Mindegyik [xi-1, xi] részintervallumból (1 ≤ in) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξi elemet.

Állítsunk f(ξi) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:

\sigma(F_n) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})

Ezt a \Delta x_i=(x_i-x_{i-1}) jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:

\sigma(F_n) =\sum_{i=1}^n{ f(\xi_i)\Delta x_i} =f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+\, \cdots \, +f(\xi_n)\Delta x_n

A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: \{F_n\} = F_1, F_2, F_3, F_4, \ldots. Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a \{d(F_n)\} = d(F_1), d(F_2), \ldots sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: \int \limits _a^b f(x) \, dx vagy röviden: \int \limits _a^b f.

d(F_n) \to 0 \Rightarrow \sigma(F_n) \to \int \limits _a^b f

Összefoglalva:

\int \limits _{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot (x_i - x_{i-1})
ahol
 a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b
x_{i-1} \le \xi_i \le x_i
\lim_{n\to \infty} \max \left\{ x_i - x_{i-1} | 1 \le i \le n \right\}=0

Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.

Jellemzés a Darboux-integrálokkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a \sigma_n összegben az f(\xi_i) helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez jutunk: S_n = \sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})}, ahol M_i a függvény felső határa (supremuma) az [x_{i-1}, x_i] intervallumon.

Hasonló a (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg definíciója is: s_n = \sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})}, ahol m_i az függvény alsó határa (infimuma) az [x_{i-1}, x_i] intervallumon.

A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait. Az alsó integrálközelítő összegek szuprémuma az alsó Darboux-integrál:

\underline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1}}),

és a felső integrálközelítő összegek infimuma a felső Darboux-integrál:

\overline{\int_a^b}=\inf\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1}}).

Egy adott intervallumon korlátos függvénynek mindig léteznek a Darboux-integráljai. Egy ilyen függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann-féle értelemben, ha az alsó és felső Darboux-integráljaik megegyeznek.

A Riemann-integrál tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolata a folytonossággal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is.

Ha f Riemann-integrálható [a,b]-n, és

F(t)=\int_a^t f(x)\,dx,

akkor F folytonos [a,b]-n.

Linearitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha f, g az [a,b] intervallumon Riemann-integrálható függvények, c valós konstans, akkor f\pm g és cf is integrálható ugyanott, és teljesülnek a következők:

\int_a^b f(x) \pm g(x) \,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx
\int_a^b c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_a^b f(x)\,dx

Az integrációs határok felcserélése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha f Riemann-integrálható [a,b] intervallumon, akkor

\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx

Az integrációs intervallum felbonthatósága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen a<b<c. Ha f Riemann-integrálható [a,c] intervallumon, akkor Riemann-integrálható [a,b] és [b,c] intervallumokon is, valamint:

\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx+\int_c^a f(x)\,dx=0

Háromszög-egyenlőtlenség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha f az [a,b] intervallumon Riemann-integrálható függvény, akkor |f| is az, és teljesül a következő:

\left|\int_a^bf(x)\,dx\right|\leq\int_a^b\left|f(x)\right|\,dx

Schwarz-egyenlőtlenség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha f,g az [a,b] intervallumon integrálhatóak a Riemann-féle értelemben, akkor a négyzeteik és a szorzatuk is, és fennáll a következő egyenlőtlenség:

\left|\int_a^bf(x)g(x)\,dx\right|\leq\sqrt{\int_a^bf^2(x)\,dx}\sqrt{\int_a^bg^2(x)\,dx}

Newton-Leibniz formula[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A határozott integrál és a primitív függvény kapcsolatát tárja fel a Isaac Barrow által felfedezett Newton-Leibniz formula:

Ha [a,b]-n F'=f, akkor

\int_a^b f(x)dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)

Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek.

Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha f Riemann-integrálható [a,b]-n, és F(x)=\int_a^xf(t)\,dt (azaz F határozatlan integrálja f-nek), akkor F'(x)=f(x), az intervallum minden x pontjára.

Parciális integrálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Newton-Leibniz formulából már könnyen adódik a parciális integrálás képlete:

\int_a^b f(x) \cdot g'(x)\,dx = \Big[f(x) \cdot g(x)\Big]_a^b - \int_a^b f'(x) \cdot g(x) \,dx

Helyettesítéses integrálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen x=\varphi(t), ahol \varphi folytonosan differenciálható, és f folytonos [a,b] \varphi általi képén. Ekkor

\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\,dx=\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt

A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy [a,b] intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és [a,b] majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint nullmértékű).

Egyéb integrálok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
  • Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
  • Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
  • Medvegyev P. (2004): Sztochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.