Határozatlan integrál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, ezen belül az analízis területén, az antiderivált, vagy primitív függvény, vagy más néven határozatlan integrál, az integrálszámítás nevű részterület egyik legfontosabb fogalma. Egy f függvény antideriváltja az az F függvény, melynek deriváltja egyenlő f függvénnyel, azaz F ′ = f. A primitív függvény, ha létezik, mint függvény, sosem egyértelműen (ezért a „határozatlan” integrál elnevezés); egyes szerzők az antideriváltat így függvények egy bizonyos halmazának tekintik.

Magyar nyelvterületen sokkal használatosabb a „primitív függvény” elnevezés („primitív” = eredeti, megelőző). [1][2]

Azt az eljárást (a konkrét számítási módszertől eltekintve), amikor kiszámítjuk egy függvény antideriváltját, határozatlan integrálásnak is hívják (ez néha csak közelítő módszerek alkalmazásával lehetséges).

A határozatlan integrálás (antiderivált) szorosan kapcsolódik a határozott integrálhoz a Newton–Leibniz-tételen keresztül (amelyet néha az integrálszámítás alaptételének is neveznek): Egy intervallumban egy függvény határozott integrálja egyenlő a primitív függvényeknek (antideriváltaknak) az intervallum végpontjain felvett értékeinek különbségével.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az f(x) = x2. függvény antideriváltja a F(x) = x3/3 függvény.

x2 antideriváltjait úgy kaphatjuk, ha változtatjuk a C-t a F(x) = (x3/3) + C függvényben, ahol C tetszőleges konstans, más néven az integrálási konstans. Lényegében egy függvény antideriváltjainak görbéi egymás vertikális változatai; minden egyes görbe helyzete a C értékétől függ.

Fizikában, a gyorsulás integrálása adja a sebességet, plusz egy konstanst. A konstans a kezdeti érték, mely elveszik, ha deriváljuk a sebességet, mert egy konstans deriváltja zéró. Hasonló séma érvényes további integrálás esetén és a mozgás deriválásánál (helyzet, sebesség, gyorsulás, stb.)

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az antideriváltak fontosak, mert a határozott integrálok számításánál jól felhasználhatók, alkalmazva a számítási alapelméletet: ha F egy integrálható f függvény antideriváltja, akkor :

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).

ezért az adott f függvény végtelenül sok antideriváltját néha f “általános integrál”jának, vagy “végtelen integrál”jának is hívják, és határok nélküli integrál jellel jelölik:

\int f(x)\, dx.

Ha F, az f függvény egy antideriváltja, és f függvény meghatározható néhány intervallumban, akkor f bármely G antideriváltja egymástól F –től egy konstansban különbözik. Így létezik egy C: G(x) = F(x) + C. C egy tetszőleges integrálási állandó. Ha F tartománya kettő vagy több intervallum diszjunkt uniója, akkor különböző konstansok választhatók minden egyes intervallumra. Például:

F(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x}+C_1\quad x<0\\-\frac{1}{x}+C_2\quad x>0\end{cases}

A fenti függvények, f(x)=1/x^2 antideriváltja a (-\infty,0)\cup(0,\infty) természetes tartományában.

Minden f folytonos függvénynek van antideriváltja; egy F antiderivált meghatározható f egy határozott integráljával, változtatható felső határral:

F(x)=\int_0^x f(t)\,dt.

Az alsó határ változtatásával további antideriváltat kapunk (de nem szükségszerűen az összeset). Ez egy másik formája a számítási alapelméletnek. Számos antiderivált létezik, melyeket nem lehet kifejezni elemi függvényként (mint polinomok, exponenciális polinomok, logaritmusok, trigonometrikus függvények és ezek kombinációi). Például:

\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \sin(x^2)\,dx, \qquad\int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx.

További részletes tárgyalás a differenciális Galois-elméletnél található.

Integrálás technikája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elemi függvények antideriváltjainak megtalálása nehezebb feladat, mint a deriváltjai megtalálása (kiszámítása). Néhány elemi függvény esetén lehetetlen megtalálni más elemi függvények segítségével az antideriváltjait. Néhány módszer rendelkezésre áll:

\int_{x_0}^x \int_{x_0}^{x_1} \dots \int_{x_0}^{x_{n-1}} f(x_n) \,dx_n \dots \, d x_2\, d x_1= \int_{x_0}^x f(t) \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\,dt .

Nem folytonos függvények antideriváltjai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nem folytonos függvényeknek is lehetnek antideriváltjaik. Miközben vannak még nyílt kérdések ezen a területen, azt tudjuk, hogy:

  • néhány ‘patológiás’ függvénynek, kiterjedt nem folytonos tartománnyal, sosem lehet antideriváltja.
  • néhány esetben, a‘patológiás’ függvényeknek is meg lehet találni az antideriváltjait a Riemann-integrál segítségével.

Tegyük fel, hogy a függvények tartományai nyílt intervallumok:

  • szükséges, de nem elégséges feltétel, hogy egy függvénynek antideriváltja legyen, az, hogy legyen ‘köztes érték tulajdonsága’. Azaz, ha f függvény tartományának [ab] egy rész intervalluma, és d bármely valós szám f(a) és f(b) között, akkor f(c) = d egy c-re a és b között.

Ahhoz, hogy ezt lássuk, legyen f antideriváltja F, és tekintsük a folytonos g(x) = F(x) – dx függvényt egy zárt [ab] intervallumban. Ekkor g-nek vagy maximumnak kell lennie, vagy minimum c a nyílt (ab) intervallumban, és így 0 = g′(c) = f(c) – d.

  • f diszkontinuitásának egy Meagre tartománynak kell lennie. Ennek a tartománynak egy F-Sigma tartománynak is lennie kell (mivel bármely függvény diszkontinuitási állományának ez a típusa). Továbbá, bármely Meager F-Sigma állományra előállítható egy f függvény antideriváltja.
  • Ha f-nek van antideriváltja, mely a tartománynak egy zárt véges altartományában korlátos, és a Lebesgue mérték egy diszkontinuitásának tartománya 0, akkor az antiderivált integrálással megtalálható.
  • Ha f-nek egy antideriváltja F, egy zárt [a,b] intervallumon, akkor bármely partíció a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b, ha kiválasztunk egy minta pontot, x_i^*\in[x_{i-1},x_i], melyet Lagrange-féle középértéktétel specifikál, akkor, a megfelelő Riemann szumma teleszkópol a F(b) – F(a) értékhez.

\begin{align}
\sum_{i=1}^n f(x_i^*)(x_i-x_{i-1}) & = \sum_{i=1}^n [F(x_i)-F(x_{i-1})] \\
& = F(x_n)-F(x_0) = F(b)-F(a)
\end{align}

Azonban, ha f nem korlátos, vagy f korlátos, de az f diszkontinuitásainak van pozitív Lebesgue mértéke, az x_i^* minta pontok egy különböző választéka, szignifikánsan más értéket adhat a Riemann szummára, függetlenül attól, milyen finom a partició.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Karl R. Stromberg: Introduction to Classical Real Analysis. (hely nélkül): Wadsworth. 1981.  
  • Stewart, James: Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2008. ISBN 0547167024  
  • Reiman istván: Matematika). (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
  • Gerőcs L.-Dr.Vancsó Ödön: Matematika). (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th, Brooks/Cole (2008). ISBN 0-495-01166-5 
  2. Calculus, 9th, Brooks/Cole (2009). ISBN 0-547-16702-4