Newton–Leibniz-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A NewtonLeibniz-tétel (avagy Newton–Leibniz-formula) a határozott integrálás jelentős tétele.

A tétel kimondása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f integrálható [a,b]-ben. Ha az F függvény folytonos [a,b]-ben, differenciálható (a,b)-ben és F'(x)=f(x) minden x∈(a,b)-re, akkor

\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a).

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen a=x_0<x_1<...<x_n=b az [a,b] intervallum tetszőleges felosztása. A Lagrange-középértéktétel szerint minden i-re van olyan ci∈(xi-1,xi) pont, amelyre

F\left(x_i\right)-F\left(x_{i-1}\right)=F'\left(c_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)=f\left(c_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)

teljesül. Ha ezeket az egyenlőségeket összeadjuk minden i=1,...,n-re, akkor a bal oldalon minden tag kiesik, kivéve az F(xn)=F(b) és F(x0)=F(a) tagokat, és így azt kapjuk, hogy

F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^nf(c_i)(x_i-x_{i-1}).

Ez azt jelenti, hogy bármely felosztáshoz vannak olyan közbülső pontok, hogy az f függvénynek ezekkel a közbülső helyekkel vett közelítő összege éppen F(b)-F(a)-val egyenlő. Ebből következik, hogy az F(b)-F(a) szám minden felosztásra az alsó összeg és felső összeg között helyezkedik el. Mivel f integrálható, ezért csak egyetlen ilyen szám van: f integrálja. Így

F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int_a^bf\left(x\right)\, dx.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]