Számtani közép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Számtani vagy aritmetikai középértéken \,n darab szám átlagát, azaz a számok összegének \,n-ed részét értjük. A számtani közepet általában \,A betűvel jelöljük:

A(a_1;...;a_n)=\frac{a_1+...+a_n}{n}

A kiindulási értékeket összeadjuk, majd az összeget elosztjuk az összeadott számok darabszámával. A hétköznapi életben ezt simán "átlag"nak mondjuk.

Értelmezése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a és a b számok számtani közepe m akkor és csak akkor, ha m-a=b-m.

Legyenek X_1, \dots, X_n ugyanolyan eloszlású, egymástól független valószínűségi változók μ várható értékkel és σ szórással, akkor az m:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i középérték szintén μ körül ingadozik, és szórása kisebb, \sqrt{\sigma ^2/n}. Ha tehát egy valószínűségi változó várható értéke és szórása is véges, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével sztochasztikusan konvergál a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: medián).

A számtani középre vonatkozó alaptétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tétel: Ha \,a,b,c valós számok, és \,b=A(a;c), vagyis \,b az \,a és \,c számok számtani közepe, akkor b-a = c-b = \frac{c-a}{2}. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy \,b az \,a és a \,c számoktól egyenlő távolságra (vagyis „középen”) helyezkedik el a számegyenesen. Valóban, hiszen ha b=\frac{a+c}{2}, akkor b-a = \frac{a+c}{2}-a =\frac{a+c-2a}{2} = \frac{c-a}{2} és c-b = c-\frac{(a+c)}{2} = \frac{2c-a-c}{2} = \frac{c-a}{2}.

Adott a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R} valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:


\min(a_i)\leq A(a_1;...;a_n)\leq\max(a_i)

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a tetszőleges a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R} számsorozatot teszőlegesen hosszan bővítjük e számok számtani közepével, akkor az így kibővített sorozat tagjainak számtani középértéke megegyezik az eredeti számtani középpel:

A(a_1;\dots;a_n;A_n;\dots;A_n)=A_n

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség:

\operatorname A(a,b) \geq \operatorname G(a,b)

Számtani sorozatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Számtani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának számtani közepe. Általában \,a_n tag az \,a_{n-k} és \,a_{n+k} tagok számtani közepe, ha \,n>k pozitív egészek. Ennek megfordítása is igaz (ha egy sorozatban bármely két tag a szomszédos tagok számtani közepe, akkor az egy számtani sorozat), mégpedig egyszerű következménye a számtani középre vonatkozó alaptételnek.

Súlyozott számtani közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számtani középnek súlyozott változata is értelmezhető. Alkalmazzák például a keverési feladatokban, a valószínűségszámításban és a statisztikában.

A súlyozott számtani közép számítása:

 \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n w_i} .

ahol az xi számok rendre a wi súlyokkal szerepelnek.

A keverési feladatokban xi jelöli a koncentrációt, vagy a hőmérsékletet, és wi a térfogatot, vagy a tömeget.

A statisztikai alkalmazásokban az xi adatpontokhoz tartozó wi súlyok azt mutatják, hogy az adott adatpont hányszor jelenik meg a mintában.

Több minta összetevésekor az egyes minták középértékeit a megfelelő minták elemszámával súlyozzák.

A valószínűségszámításban, ha az \mathbf X_i valószínűségi vektorváltozók közös várható értéke \mathbf \mu _i, de szórásuk rendre \sigma_i, akkor a súlyozott középérték \mathbf \mu _i körül ingadozik, és szórásnégyzete

 \sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sum_{i=1}^n w_i^2\sigma_i^2}{\left(\sum_{i=1}^n w_i\right)^2}.

Ha most

 w_i = \frac{1}{\sigma_{i}^2} ,

akkor

 \sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^4}\sigma_i^2}{\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^2} = \frac{\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}}{\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^2} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sigma_i^2}}.

A Chauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség alapján

\left(\sum_{i=1}^n w_i^2\sigma_i^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sigma_i^2}\right)\geq \left(\sum_{i=1}^n w_i\right)^2.

A  w_i = 1/\sigma_{i}^2 választás minimalizálja a középérték szórását. A súlyok választása mutatja, hogy melyik adatnak mekkora fontosságot tulajdonítunk.

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számtani közepet additív – magyarul összeadható – mennyiségek átlagolására használjuk (például magasságok átlaga, testsúlyok átlaga stb.)

Függvény középértéke[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Riemann-integrálható függvények középértéke a számtani közép általánosításaként fogható fel.

Az f:[a,b]\to\R Riemann-integrálható függvény középértéke

\bar{f}:=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x

Ha most egyenlő osztásközöket veszünk, ahol \{x_0,x_1, x_2,\dots, x_n\} osztópontok, és a két szomszédos osztópont közötti távolság h=\frac{b-a}{n}, akkor az

m_n(f):=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots +f(x_n)}{n}=\frac{1}{b-a}\sum_{k=1}^nf(x_k)h

számtani közép tart az \bar{f}\; középértékhez.

Ha f folytonos, akkor az integrálszámítás középértéktétele szerint létezik \xi\in[a,b], amire f(\xi)=\bar{f}\;, a függvény legalább egy helyen felveszi középértékét.

A középértéknek is van súlyozott változata, ahol is a w(x)\; súlyfüggvény pozitív minden x \in [a,b]-re. Ekkor a súlyozott középérték

 \bar{f} = \frac{\int_a^b f(t) w(t) \mathrm{d}t}{\int_a^b w(t) \mathrm{d}t} .

Az (\Omega, \mathcal A, \mu) mértéktérben, ahol \mu(\Omega)<\infty, a Lebesgue-integrálható függvények középértéke

\bar{f}:=\frac{1}{\mu(\Omega)}\int_\Omega f(x)\,\mathrm{d}\mu(x).

Valószínűségi tér esetén, ahol \mu(\Omega)=1\;, a középérték az

\bar{f}:=\int_\Omega f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)

alakra hozható, ami éppen az f(x) várható értéke.

Kapcsolat más közepekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f egy I intervallumon értelmezett szigorúan növő folytonos függvény. Legyenek továbbá adva a w_i, 0\leq w_i\leq 1, \sum_i w_i =1 súlyok. Ekkor az x_i\in I számok w_i-vel súlyozott kvázi-aritmetikus közepe

\bar{x}_f = f^{-1}\left(\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)\right).

Nyilván

\min(x_i)\leq \bar{x}_f \leq\max(x_i).

Így a különböző f függvényekkel különböző közepek definiálhatók. f(x)=x visszaadja a számtani közepet, f(x)=\log(x) a mértani közepet, és f(x)=x^k a k-adik hatványközepet.

Mindezek a közepek függvényekre is általánosíthatók. Ehhez azt kell még kikötni, hogy az f függvény értelmezési tartománya tartalmazza az u függvény képhalmazát. Ekkor az u függvény középértéke:

 \bar{u}_f = f^{-1}\left(\frac{\int f(u(t)) w(t) \mathrm{d}t}{\int w(t) \mathrm{d}t}\right)

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]