Számtani közép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Megtekintett lap

Ez az utolsó megtekintett változat (összes); elfogadva: 2009. október 6.

Pontosság

megtekintett

Az „Átlag” szócikk ide irányít át. Hasonló címmel lásd még: Középérték.

Számtani vagy aritmetikai középértéken $\,n$ darab szám átlagát, azaz a számok összegének $\,n$ -ed részét értjük. A számtani közepet általában $\,A$ betűvel jelöljük:

$A(a_1;...;a_n)=\frac{a_1+...+a_n}{n}$

[szerkesztés] A számtani középre vonatkozó alaptétel

Tétel: Ha a,b,c valós számok, és b=A(a,c), vagyis b az a és c számok számtani közepe, akkor b-a = c-b = (c-a)/2. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy b az a és a c számoktól egyenlő távolságra (vagyis „középen”) helyezkedik el a számegyenesen. Valóban, hiszen ha b=(a+c)/2, akkor b-a = (a+c)/2-a =(a+c-2a)/2 = (c-a)/2 és c-b = c-(a+c)/2 = (2c-a-c)/2 = (c-a)/2.

Adott $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R}$ valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:

$\min(a_i)\leq A(a_1;...;a_n)\leq\max(a_i)$

[szerkesztés] Algebrai tulajdonságok

Ha a tetszőleges $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R}$ számsorozatot teszőlegesen hosszan bővítjük e számok számtani közepével, akkor az így kibővített sorozat tagjainak számtani középértéke megegyezik az eredeti számtani középpel:

$A(a_1;\dots;a_n;A_n;\dots;A_n)=A_n$

[szerkesztés] Számtani sorozatok

Számtani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának számtani közepe. Általában $\,a_n$ tag az $\,a_{n-k}$ és $\,a_{n+k}$ tagok számtani közepe, ha $\,n>k$ pozitív egészek. Ennek megfordítása is igaz (ha egy sorozatban bármely két tag a szomszédos tagok számtani közepe, akkor az egy számtani sorozat), mégpedig egyszerű következménye a számtani középre vonatkozó alaptételnek.