Módusz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A módusz egy sorozat (általában egy statisztikai minta értékei) leggyakrabban előforduló eleme.

A statisztikai középérték mutatók (medián, módusz, számtani átlag, harmonikus átlag, mértani átlag, négyzetes átlag) egyike, amely fontos információt hordoz egy valószínűségi változóról illetve egy statisztikai sokaságról egyetlen értékben. A módusz általában különbözik az átlagtól és a mediántól, továbbá lényegesen eltérhet azoktól erősen aszimmetrikus eloszlások esetén.

A módusz nem feltétlenül egyértelmű, mivel ugyanazt a maximum gyakoriságot több különböző érték is elérheti. A legszélsőségesebb esetek az úgynevezett egyenletes eloszlások, ahol minden érték egyformán valószínű.

A kifejezés egyaránt használatos a matematikában a valószínűségi eloszlásoknál és a statisztikai mintáknál, valamint a fizikában.

Valószínűségi változó módusza[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

a "legdivatosabb", legvalószínűbb érték: egy folytonos valószínűség-eloszlás jellemző adata: olyan pont, ahol az eloszlás sűrűségfüggvényének lokális maximuma van. Egy eloszlásnak tehát több módusza is lehet. Az egyetlen móduszú (unimodális) eloszlások esetében a móduszt az eloszlás centrumát jellemző adatként használjuk. – Szimmetrikus unimodális eloszlások esetében a módusz megegyezik a mediánnal és a várható értékkel is, feltéve, hogy ez létezik. Aszimmetrikus eloszlásoknál hasznos lehet a módusz, a medián és a várható érték relatív helyzetének mint az eloszlás jellemző tulajdonságának vizsgálata.

Statisztikai minta módusza[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A módusz – a számtani átlaghoz és a mediánhoz hasonlóan – helyzeti középérték. A módusz nem mindig határozható meg és nem is mindig létezik.

Diszkrét valószínűségi változóból származó minta esetén[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A minta leggyakrabban előforduló értéke vagy értékei.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy folyamatos üzemben feljegyezték az óránkénti gépleállások számát 24 órán keresztül és a következő értékeket kapták:

Óra  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Leállások száma 5 3 1 2 0 3 4 5 2 6 1 1 4 0 2 3 2 0 2 3 1 4 1 6

Az áttekinthetőség végett a fenti értékeket egy gyakorisági táblázatba rendezve láthatjuk, hogy két érték is szerepel móduszként: az óránkénti gépleállások száma 5 alkalommal volt 1 és 5 alkalommal 2, tehát mindkét érték móduszként szerepel, vagy másként a módusz nem határozható meg egyértelműen.

leállások
száma
óránként
az előfordulások
gyakorisága
(fi)
relatív
gyakoriság
(gi)
0 3 0,125
1 5 0,208
2 5 0,208
3 4 0,168
4 3 0,125
5 2 0,083
6 2 0,083
Összesen 24 1,000

Folytonos valószínűségi változóból származó minta esetén[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A módusz a gyakorisági görbe maximum helye, amely az osztályközös gyakorisági sorból becsülhető. A móduszt mindig az az osztályköz tartalmazza, amelyikhez a hisztogram legmagasabb oszlopa tartozik.

Osztályközös gyakorisági sor esetén a következő képlettel becsülhetjük a móduszt[1]:

 Mo = x_{mo,0} + \frac{f_{mo} - f_{mo-1}}{f_{mo} - f_{mo-1} + f_{mo} - f_{mo+1}} \cdot h_{mo}

x_{mo,0}: a módusz osztályközének alsó határa

f_{mo}: a módusz osztályközének gyakorisága

f_{mo-1}: a móduszt megelőző osztályköz gyakorisága

f_{mo+1}: a móduszt követő osztályköz gyakorisága

h_{mo}: a módusz osztályközének hossza

a módusz osztályköze: az az osztályköz, ahol f_i a legnagyobb

A képlet csak egyenlő hosszúságú osztályközök esetén érvényes, ellenkező esetben f_i helyett \frac{f_i}{h_i} használata szükséges.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Hunyadi László, Vita László. Statisztika közgazdászoknak. Budapest: Központi Statisztikai Hivatal (2002)