Folytonos függvény

Ez a szócikk a valós-valós függvények folytonosságát tárgyalja. Az általánosabb keretek között értelmezett folytonosságot a folytonosság (topológia) szócikkben kell keresni.

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy f függvény folytonossága az x helyen azt jelenti, hogy x kis megváltoztatása esetén a hozzá tartozó függvényérték, az f(x) is csak kicsit változik. A „kis változás” matematikailag a határérték segítségével értelmezhető. A folytonosság lokális (helyi) tulajdonság, a függvény értelmezési tartományának egy pontjában definiált fogalom (pontbeli folytonosság) .

A korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvények esetén beszélhetünk intervallumon való folytonosságról. (V.ö.: Darboux-tulajdonság.) Ez utóbbiak szemléletesen mutatják a folytonos függvényekről alkotott intuitív képet, miszerint ezeknek a grafikonja a ceruza felemelése nélkül megrajzolható.

Pontbeli folytonosság

Definíció

Azt mondjuk, hogy a valós számok egy A részhalmazán értelmezett f: A → R függvény folytonos az értelmezési tartományának egy u pontjában, ha minden ε pozitív számhoz létezik olyan δ pozitív szám, hogy minden olyan x ∈ A számra, amely u-tól δ-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az f(x) függvényérték ε-nál kisebb távolságra van f(u)-tól. Azaz

$\forall \varepsilon > 0\quad \exists \delta > 0\quad \forall x \in A \quad (\;|x - u | < \delta \;\Rightarrow \; | f(x) - f(u) | < \varepsilon)$

Magyarázat. a függvény u-beli folytonossága azt jelenti, hogy akármilyen kicsi ε hibakorlátot is szabunk, mindig lesz az u körül olyan kis ( u-δ, u+δ ) intervallum, amelyen belüli x-ekre a függvény f(x) értékei a hibakorlátnál – ε-nál – kisebb mértékben térnek el f(u)-tól.

Folytonosság jellemzése határértékkel

Legyen f a valós számok egy A részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen x ∈ A. Az, hogy az f függvény az u pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy

• u az A-nak vagy izolált pontja, vagy
• u az A-nak torlódási pontja és létezik az f(u)-val egyenlő

$\lim\limits_{x\to u}f(x)$ határérték.

u torlódási pontja A-nak, ha bármely pozitív ε -ra létezik A-nak olyan u-val nem egyenlő eleme, melynek távolsága u-tól kisebb, mint ε. A-nak izolált pontja v, ha nem torlódási pontja, azaz létezik olyan pozitív ε, melyre A-nak nincs más eleme a (v-ε , v+ε) nyílt intervallumban, csak v.

Átviteli elv

Ezt még Heine-féle definíciónak illetve a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek is szokták nevezni.

Az f valós számok halmazának egy A részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az x ∈ A pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, u-hoz konvergáló (x_n) sorozat esetén a függvényértékek (f(x_n)) sorozata is konvergens és az f(u) számhoz tart, azaz

$\forall (x_n):\mathbb{N}\to A\quad (\;\lim\limits_{n\to \infty} x_n=u \;\Rightarrow \;\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=f(u)$

Intervallumon való folytonosság

Lásd: Intervallumon értelmezett függvények

Szakadás

A valós-valós függvények leképezését legtöbbször egy képlettel adják meg. A függvény vizsgálata, vagyis analízise legtöbbször annak az $D_f\subset\Re$ halmaznak (értelmezési tartomány) a meghatározásával kezdődik, amelynek minden pontjában értelmezhető a képlet műveletsora, azaz kiszámítható, tehát létezik a megfelelő $f(x)$ helyettesítési érték.

Szakadási hely

A $v\notin D_f$ az $x\mapsto f(x)$ függvény szakadási helye, ha bármilyen $\delta>0$ sugarú környezetének minden $x\ne v$ pontja az értelmezési tartomány eleme. (Az értelmezési tartomány határán beszélhetünk jobb, illetve bal oldali szakadási helyről.)

Szinguláris pont

Ha a szakadási helyen a függvény határértéke ±∞, akkor szingularitásról beszélünk.

Megszüntethető szakadás

Ha egy $v\in\Re$ hely a függvény szakadási helye, ahol a határérték létezik és véges, akkor képlet hozzárendelését kiegészítve a $f(v):=\lim[f(x)]$ előírással, a (grafikon) szakadása megszüntethető.

Ugráshely

Egy $v\in D_f$ hely a függvény ugráshelye, ha létezik mind a bal-, mind a jobb oldali határérték és ezek egyike megegyezik a függvényértékkel

Elsőfajú a szakadás,

ha a függvénynek a $v$ helyen van bal oldali és jobb oldali határértéke, de ezek vagy különbözők, vagy a közös érték nem egyezik meg az $f(v)$ helyettesítési értékkel. (A gyakorlati alkalmazásoknál ez utóbbi esetben is megszüntethető a szakadás.)

Másodfajú a szakadás,

minden egyéb esetben.

Hivatkozások

Külső hivatkozások

• PlanetMath: continuous
• Encyclopaedia of Mathematics: Continuous function