Normális eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A normális eloszlás sűrűségfüggvénye, ha

██ m = 0 és σ² = 0,2

██ m = 0 és σ² = 1 (standard normális eloszlás)

██ m = 0 és σ² = 5

██ m = –2 és σ² = 0,5

Az X valószínűségi változó normális eloszlást követ – vagy rövidebben: normális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye


f(x)
=
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
\cdot
e^{
-
\frac
{(x-m)^2}
{2\sigma ^2}
},

ahol a két paraméter, m és σR, valamint σ > 0. A normális eloszlást szokták Gauss-eloszlásnak vagy néha normál eloszlásnak is nevezni.

Azt, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni:


X
\sim
\mathcal N (m,\sigma ^2).

Speciálisan, ha X ~ N(0, 1), akkor X-et standard normális eloszlásúnak (vagy sztenderd normális eloszlásúnak) nevezzük.

A fenti sűrűségfüggvény grafikonját alakja miatt szokás haranggörbének nevezni.

A normális eloszlást jellemző függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Eloszlásfüggvénye


F(x)
=
\int\limits_{-\infty}^{x}
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
\cdot
e^{
-
\frac
{(t-m)^2}
{2\sigma ^2}
}
dt
\left(
=
\int\limits_{-\infty}^{x}
f(t)
dt
\right)

Karakterisztikus függvénye


\varphi (t)
=
e^
{
itm-
\frac{\sigma ^2 t^2}{2}
}

Sűrűségfüggvényének tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Maximumhelye m (de nem emiatt lesz az eloszlás várható értéke is m, az egybeesés a szimmetriának köszönhető).
  • Szimmetrikus a maximumhelyére vonatkozóan.
  • (\forall x\in\mathbb{R}) f(x) > 0
  • \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0
  • \lim_{x \to \infty}f(x) = 0

A normális eloszlást jellemző számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Várható értéke


\bold E (X)=m

Szórása


\bold D (X)=\sigma

Momentumai


    \mathrm{E}\left(X^p\right) =
      \begin{cases}
        0 & \text{ha }p\text{ páratlan,} \\
        \sigma^p\,(p-1)!! & \text{ha }p\text{ páros.}
      \end{cases}

Abszolút momentumai


    \operatorname{E}\left(|X|^p\right) =
      \sigma^p\,(p-1)!! \cdot \left.\begin{cases}
        \sqrt{\frac{2}{\pi}} & \text{ha }p\text{ páratlan} \\
        1 & \text{ha }p\text{ páros}
      \end{cases}\right\}
    = \sigma^p \cdot \frac{2^{\frac{p}{2}}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi}}

Ferdesége


\beta_1(X)=0
\,

Lapultsága


\beta_2(X)=0
\,

Normális eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha X ~ N(m, σ²), akkor bármilyen nullától különböző valós a és bármilyen valós b szám esetén az Y = aX + b valószínűségi változó is normális eloszlást követ, pontosabban Y ~ N(am + b, a²σ²).
    Az eloszlás eme tulajdonságán alapul a standardizálás módszere: ha X ~ N(m, σ²), akkor (Xm)/σ ~ N(0, 1).
  • Normális eloszlású független valószínűségi változók összege is normális eloszlású. Pontosabban ha X1 ~ N(m1, σ1²) és X2 ~ N(m2, σ2²) független valószínűségi változók, akkor X1 + X2 ~ N(m1 + m2, σ1² + σ2²).
  • Fordítva: ha X1 és X2 független valószínűségi változó, és X1 + X2 normális eloszlású, akkor X1 is és X2 is normális eloszlású.

Érdekességek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A korábbi 10 márkás bankjegy Gauss portréjával

1989-ben a Német Szövetségi Bank olyan 10 márkás bankjegyet bocsátott ki, melyen Gauss képe mellett a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonja és képlete is látható. Ez a bankjegy 2001-ig volt forgalomban, amikor is Németország áttért az euróra.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Fazekas István (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000)
  • Lukács Ottó: Matematikai statisztika (Műszaki, 2002) ISBN 963-16-3036-6

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Normális eloszlás témájú médiaállományokat.