Log-normális eloszlás

A log-normális eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás, melyre az jellemző, hogy a valószínűségi változó logaritmusa normális eloszlású.

Ha X valószínűségi változó normális eloszlású, akkor Y=exp(X) log-normális eloszlású. Hasonlóképpen, ha Y log-normális eloszlású, akkor X=log(Y) normális eloszlású. A log-normális eloszlású valószínűségi változó csak pozitív valós értéket vehet fel. Ezt az eloszlást Galton-eloszlásnak is szokták hívni, Francis Galton után, továbbá más elnevezések is előfordulnak, mint például: McAlister, Gibrat és Cobb–Douglas.

A változókat log-normálisként modellezik, ha független valószínűségi változók többszörös szorzataként jellemezhetők.(Ezt igazolja a log-tartományra érvényes központi határérték elmélet).

Például, a drótnélküli távközlésben, az árnyékolás, és a lassú fading jelenség okozta jelveszteséget log-normális eloszlásúnak tekintik.

A log-normális eloszlás egy X valószínűségi változóra nézve maximális-entrópia tipusú valószínűség eloszlású, ha várható értéke, és szórásnégyzete: $\ln(X)$ .

μ és σ

Sűrűségfüggvény

Kumulatív eloszlás függvény

X valószínűségi változót jellemzi a μ és σ, a várható érték, és a szórás:

$X=e^{\mu+\sigma Z}$

ahol Z egy standard normális változó. Az összefüggés igaz függetlenül attól, hogy a függvény logaritmikus vagy exponenciális.

Ha log_a(Y) normális eloszlású, akkor log_b(Y) is az, bármely pozitív számra. Hasonlóképpen, ha $e^X$ normális eloszlású, akkor $e^{log(a)X}$ is az, ahol a egy pozitív szám, és nem =1. Logaritmikus ábrázolásnál, a μ és σ-t helyparaméternek, illetve skálaparaméternek hívják.

Jellemzők

Sűrűségfüggvény

A valószínűség sűrűségfüggvény:

$f_X(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}}\, e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}},\ \ x>0$ (Ez a változók cseréjének szabályából következik)

Kumulatív eloszlás függvény

$F_X(x;\mu,\sigma) = \frac12 \operatorname{erfc}\!\left[-\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right] = \Phi\bigg(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\bigg),$

Ahol erfc a komplementer hibafüggvény, és Φ a standard normális eloszlás kumulatív eloszlás függvénye.

Karakterisztikus függvény

A karakterisztikus függvény , E[e ^itX] több megjelenítése is ísmert. Az integrálja konvergál Im(t) ≤ 0. A legegyszerűbb, ha Taylor sorbafejtést alkalmazunk: $\varphi(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n}{n!}e^{n\mu+n^2\sigma^2/2}.$ A soros megjelenítés divergál, ha σ² > 0. Ez azonban elegendő a karakterisztikus függvény kiszámolására pozitív $\sigma$ esetén, amíg a szumma felső határértéke érvényes, n ≤ N, ahol

$\max(|t|,|\mu|) \ll N \ll \frac{2}{\sigma^2}\ln\frac{2}{\sigma^2}$

éa σ² < 0.1.

Hely és skála paraméterek

A hely és skála paraméterek esetén könnyebben használható a mértani középérték, és a geometrikus szórás, mint az számtani középérték és a szórás.

Geometrikus momentumok

A log-normális eloszlás mértani közepe: $e^{\mu}$. Mivel a log-normális eloszlás logaritmusa szimmetrikus, és a kvantilisek monoton transzformáción megmaradnak, a mértani közepe (várható értéke) egyenlő a mediánnal. A mértani közép (m_g) levezethető az számtani középből (m_a):

$m_g = m_ae^{-\tfrac{1}{2}\sigma^2}.$

A mértani szórás: $e^{\sigma}$

Aritmetikai momentumok

Ha X log-normális eloszlású változó, akkor a várható értéke (E-számtani középérték), szórásnégyzete (Var), és szórása (s.d.):

$\begin{align} & \operatorname{E}[X] = e^{\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^2}, \\ & \operatorname{Var}[X] = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2} \\ & \operatorname{s.d.}[X] = \sqrt{\operatorname{Var}[X]} = e^{\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^2}\sqrt{e^{\sigma^2} - 1} . \end{align}$

Ezzel ekvivalens módon, a μ és σ paraméterek megkaphatók, ha a várható érték és a szórásnégyzet ismert: $\begin{align} \mu &= \ln(\mathrm{E}[X]) - \frac12 \ln\!\left(1 + \frac{\mathrm{Var}[X]}{(\mathrm{E}[X])^2}\right), \\ \sigma^2 &= \ln\!\left(1 + \frac{\mathrm{Var}[X]}{(\mathrm{E}[X])^2}\right). \end{align}$ Bármely valós vagy komplex számra s, a log-normális X-re:

$\operatorname{E}[X^s] = e^{s\mu + \tfrac{1}{2}s^2\sigma^2}.$

A log-normális eloszlást nem határozzák meg kizárólagosan a momentumai E[X^k] k ≥ 1 esetre, azaz létezik néhány más eloszlás is hasonló momentumokkal az összes k-ra. Valójában egy nagy eloszlás család létezik hasonló momentumokkal, mint a log-normális eloszlás.

Módusz és medián

Középérték,medián, módusz, különböző ferdeségek esetén

A módusz a sűrűségfüggvény maximális pontja. Elsősorban megoldja a (ln ƒ)′ = 0 egyenletet:

$\mathrm{Mode}[X] = e^{\mu - \sigma^2}.$

The medián aza pont, ahol F_X = 1/2:

$\mathrm{Med}[X] = e^\mu\,.$

Szórási tényező

$\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}$

Egyéb összefüggés

Egy adathalmaz, mely a log-normális eloszlásból származik, szimmetrikus Lorenz-görbe. A harmonikus (H), mértani (G) és számtani (A) közép (várható érték) kapcsolódik egymáshoz; és ez a kifejezés adja meg az összefüggést:

$H = \frac{G^2}{ A} .$

A log-normális eloszlások végtelenül oszthatók.

Alkalmazások

• Biológia:
  • Élő szövetek méretei (hosszúság, súly, bőrfelület))
  • Inaktív emberi testrészek hosszúság (haj, köröm, fogak)
  • egyes fiziológiás mérések (például : vérnyomás férfi/női populációnál)
• Hidrológia:
  • Esőzési adatok (extrém értékek)
  • Folyó áradások adatai
• Gazdaság:
  • A lakosság jövedelme 97%–99%-a log-normális eloszlást mutat.
• Pénzügyek
• Black-Scholes modell: átváltási ráták, árindexek, tőzsde mutatók
• Települések:
  • Városok mérete log-normális eloszlású
• Megbízhatósági analízis:
  • Karbantartási idők meghatározásánál log-normális eloszlást is használnak
• Drótnélküli kommunikáció:
• Mechanika:
  • Súrlódási tényezők számítása

Irodalom

• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N: Lognormal Distributions", Continuous univariate distributions.. New York: John Wiley & Sons. 1994.
• Leipnik, Roy B.: On Lognormal Random Variables: I – The Characteristic Function",.. Journal of the Australian Mathematical Society Series B, 32,. 1991.

Kapcsolódó szócikkek

• Sűrűségfüggvény
• Normális eloszlás
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűség-számítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Burr-eloszlás
• Momentum
• Medián

Források

• A log-normális eloszlás a MathWorld-ön